Страница 70 номер 269, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0\); б) \(x^3 + 4x^2 - x - 12 = 0\).
а)
\[\begin{aligned} &x^3 + x^2 - 4x - 4 = x^2(x + 1) - 4(x + 1) = {} \\ &= (x + 1)(x^2 - 4) = (x + 1)(x - 2)(x + 2). \end{aligned}\]
\((x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0\);
\(x + 1 = 0\), или \(x - 2 = 0\), или \(x + 2 = 0\);
\(x = -1\), или \(x = 2\), или \(x = -2\).
б) Коэффициенты многочлена — целые числа, делители свободного члена \(-12\): \(1; 2; 3; 4; 6; 12\) и \(-1; -2; -3; -4; -6; -12\).
Для \(x = 1\): \(1^3 + 4 \cdot 1^2 - 1 - 12 = 1 + 4 - 1 - 12 = -8 \ne 0\).
Для \(x = -1\): \((-1)^3 + 4 \cdot (-1)^2 - (-1) - 12 = -1 + 4 + 1 - 12 = -8 \ne 0\).
Для \(x = 2\): \(2^3 + 4 \cdot 2^2 - 2 - 12 = 8 + 16 - 2 - 12 = 10 \ne 0\).
Для \(x = -2\): \((-2)^3 + 4 \cdot (-2)^2 - (-2) - 12 = -8 + 16 + 2 - 12 = -2 \ne 0\).
Для \(x = 3\): \(3^3 + 4 \cdot 3^2 - 3 - 12 = 27 + 36 - 3 - 12 = 48 \ne 0\).
Для \(x = -3\): \((-3)^3 + 4 \cdot (-3)^2 - (-3) - 12 = -27 + 36 + 3 - 12 = 0\) — число \(-3\) является корнем.
Вынесем за скобки множитель \(x - (-3) = x + 3\), представив \(4x^2\) в виде \(3x^2 + x^2\), а \(-x\) — в виде \(3x - 4x\): \[\begin{aligned} &x^3 + 4x^2 - x - 12 = x^3 + 3x^2 + x^2 - x - 12 = {} \\ &= x^2(x + 3) + x^2 - x - 12 = x^2(x + 3) + x^2 + 3x - 4x - 12 = {} \\ &= x^2(x + 3) + x(x + 3) - 4(x + 3) = (x^2 + x - 4)(x + 3). \end{aligned}\] Проверка раскрытием скобок: \((x^2 + x - 4)(x + 3) = x^3 + 3x^2 + x^2 + 3x - 4x - 12 = x^3 + 4x^2 - x - 12\).
\((x^2 + x - 4)(x + 3) = 0\);
\(x = -3\) или \(x^2 + x - 4 = 0\):
\[\begin{aligned} D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17; \\ x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{17}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}. \end{aligned}\]
Так как \(\sqrt{17} < \sqrt{25} = 5\), то \(\frac{-1 - \sqrt{17}}{2} > \frac{-1 - 5}{2} = -3\).
Ответ: а) \(-2\); \(-1\); \(2\); б) \(-3\); \(\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}\); \(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\).
Решите уравнение: а) \(x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0\); б) \(x^3 + 4x^2 - x - 12 = 0\).
а) Сгруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:
\[\begin{aligned} &x^3 + x^2 - 4x - 4 = x^2(x + 1) - 4(x + 1) = {} \\ &= (x + 1)(x^2 - 4) = (x + 1)(x - 2)(x + 2). \end{aligned}\]
Уравнение примет вид \((x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x + 1 = 0\), или \(x - 2 = 0\), или \(x + 2 = 0\);
\(x = -1\), или \(x = 2\), или \(x = -2\).
б) Выясним, есть ли у этого уравнения целые корни. Коэффициенты многочлена \(x^3 + 4x^2 - x - 12\) — целые числа, поэтому его целым корнем может быть только делитель свободного члена. Свободный член равен \(-12\). Делителями числа \(-12\) являются числа \(1; 2; 3; 4; 6; 12\) и противоположные им числа \(-1; -2; -3; -4; -6; -12\). Будем подставлять их в многочлен по очереди, пока не найдём корень.
Для \(x = 1\): \(1^3 + 4 \cdot 1^2 - 1 - 12 = 1 + 4 - 1 - 12 = -8 \ne 0\).
Для \(x = -1\): \((-1)^3 + 4 \cdot (-1)^2 - (-1) - 12 = -1 + 4 + 1 - 12 = -8 \ne 0\).
Для \(x = 2\): \(2^3 + 4 \cdot 2^2 - 2 - 12 = 8 + 16 - 2 - 12 = 10 \ne 0\).
Для \(x = -2\): \((-2)^3 + 4 \cdot (-2)^2 - (-2) - 12 = -8 + 16 + 2 - 12 = -2 \ne 0\).
Для \(x = 3\): \(3^3 + 4 \cdot 3^2 - 3 - 12 = 27 + 36 - 3 - 12 = 48 \ne 0\).
Для \(x = -3\): \((-3)^3 + 4 \cdot (-3)^2 - (-3) - 12 = -27 + 36 + 3 - 12 = 0\).
Значит, число \(-3\) — корень многочлена, и многочлен можно представить в виде произведения множителя \(x - (-3) = x + 3\) и многочлена второй степени. Вынесем за скобки множитель \((x + 3)\), представив \(4x^2\) в виде \(3x^2 + x^2\), а \(-x\) — в виде \(3x - 4x\):
\[\begin{aligned} &x^3 + 4x^2 - x - 12 = x^3 + 3x^2 + x^2 - x - 12 = {} \\ &= x^2(x + 3) + x^2 - x - 12 = x^2(x + 3) + x^2 + 3x - 4x - 12 = {} \\ &= x^2(x + 3) + x(x + 3) - 4(x + 3) = (x^2 + x - 4)(x + 3). \end{aligned}\]
Проверим разложение, раскрыв скобки: \((x^2 + x - 4)(x + 3) = x^3 + 3x^2 + x^2 + 3x - 4x - 12 = x^3 + 4x^2 - x - 12\).
Уравнение примет вид \((x^2 + x - 4)(x + 3) = 0\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Если второй множитель равен нулю, то \(x = -3\). Пусть \(x^2 + x - 4 = 0\). Найдём дискриминант:
\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17.\]
Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня:
\[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{17}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}. \end{aligned}\]
Так как \(\sqrt{17} < \sqrt{25} = 5\), то \(\frac{-1 - \sqrt{17}}{2} > \frac{-1 - 5}{2} = -3\).
Ответ: а) \(-2\); \(-1\); \(2\); б) \(-3\); \(\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}\); \(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\).
