Страница 70 номер 267, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(x^3 + 6x^2 + 4x - 5 = 0\).
Коэффициенты многочлена — целые числа, делители свободного члена \(-5\): \(1; 5\) и \(-1; -5\).
Для \(x = 1\): \(1^3 + 6 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 5 = 1 + 6 + 4 - 5 = 6 \ne 0\).
Для \(x = -1\): \((-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 5 = -1 + 6 - 4 - 5 = -4 \ne 0\).
Для \(x = 5\): \(5^3 + 6 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 - 5 = 125 + 150 + 20 - 5 = 290 \ne 0\).
Для \(x = -5\): \((-5)^3 + 6 \cdot (-5)^2 + 4 \cdot (-5) - 5 = -125 + 150 - 20 - 5 = 0\) — число \(-5\) является корнем.
Вынесем за скобки множитель \(x - (-5) = x + 5\), представив \(6x^2\) в виде \(5x^2 + x^2\), а \(4x\) — в виде \(5x - x\): \[\begin{aligned} &x^3 + 6x^2 + 4x - 5 = x^3 + 5x^2 + x^2 + 4x - 5 = {} \\ &= x^2(x + 5) + x^2 + 4x - 5 = x^2(x + 5) + x^2 + 5x - x - 5 = {} \\ &= x^2(x + 5) + x(x + 5) - 1 \cdot (x + 5) = (x^2 + x - 1)(x + 5). \end{aligned}\] Проверка раскрытием скобок: \((x^2 + x - 1)(x + 5) = x^3 + 5x^2 + x^2 + 5x - x - 5 = x^3 + 6x^2 + 4x - 5\).
\((x^2 + x - 1)(x + 5) = 0\);
\(x = -5\) или \(x^2 + x - 1 = 0\):
\[\begin{aligned} D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5; \\ x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}. \end{aligned}\]
Ответ: \(-5\); \(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\); \(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\).
Решите уравнение \(x^3 + 6x^2 + 4x - 5 = 0\).
Выясним, есть ли у этого уравнения целые корни. Коэффициенты многочлена \(x^3 + 6x^2 + 4x - 5\) — целые числа, поэтому его целым корнем может быть только делитель свободного члена. Свободный член равен \(-5\). Делителями числа \(-5\) являются числа \(1; 5\) и противоположные им числа \(-1; -5\). Подставим их в многочлен.
Для \(x = 1\): \(1^3 + 6 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 5 = 1 + 6 + 4 - 5 = 6 \ne 0\).
Для \(x = -1\): \((-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 5 = -1 + 6 - 4 - 5 = -4 \ne 0\).
Для \(x = 5\): \(5^3 + 6 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 - 5 = 125 + 150 + 20 - 5 = 290 \ne 0\).
Для \(x = -5\): \((-5)^3 + 6 \cdot (-5)^2 + 4 \cdot (-5) - 5 = -125 + 150 - 20 - 5 = 0\).
Значит, число \(-5\) — корень многочлена. Если число \(m\) — корень многочлена, то многочлен равен произведению \((x - m)\) и многочлена, степень которого на 1 меньше; здесь \(x - (-5) = x + 5\). Вынесем за скобки множитель \((x + 5)\), представив \(6x^2\) в виде \(5x^2 + x^2\), а \(4x\) — в виде \(5x - x\):
\[\begin{aligned} &x^3 + 6x^2 + 4x - 5 = x^3 + 5x^2 + x^2 + 4x - 5 = {} \\ &= x^2(x + 5) + x^2 + 4x - 5 = x^2(x + 5) + x^2 + 5x - x - 5 = {} \\ &= x^2(x + 5) + x(x + 5) - 1 \cdot (x + 5) = (x^2 + x - 1)(x + 5). \end{aligned}\]
Проверим разложение, раскрыв скобки: \((x^2 + x - 1)(x + 5) = x^3 + 5x^2 + x^2 + 5x - x - 5 = x^3 + 6x^2 + 4x - 5\).
Уравнение примет вид \((x^2 + x - 1)(x + 5) = 0\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Если второй множитель равен нулю, то \(x = -5\). Пусть \(x^2 + x - 1 = 0\). Найдём дискриминант:
\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5.\]
Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня:
\[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}. \end{aligned}\]
Ответ: \(-5\); \(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\); \(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\).
