Страница 70 номер 265, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Какое из уравнений не имеет целых корней: 1) \(x^3 + 2x^2 - 3x - 10 = 0\); 2) \(x^3 - x^2 + x - 2 = 0\); 3) \(x^3 + 5x^2 + x - 10 = 0\)?
Коэффициенты всех трёх многочленов — целые числа.
1) Делители свободного члена \(-10\): \(1; 2; 5; 10\) и \(-1; -2; -5; -10\).
Для \(x = 2\): \(2^3 + 2 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 - 10 = 8 + 8 - 6 - 10 = 0\) — у первого уравнения есть целый корень 2.
2) Делители свободного члена \(-2\): \(1; 2\) и \(-1; -2\).
Для \(x = 1\): \(1^3 - 1^2 + 1 - 2 = 1 - 1 + 1 - 2 = -1 \ne 0\).
Для \(x = -1\): \((-1)^3 - (-1)^2 + (-1) - 2 = -1 - 1 - 1 - 2 = -5 \ne 0\).
Для \(x = 2\): \(2^3 - 2^2 + 2 - 2 = 8 - 4 + 2 - 2 = 4 \ne 0\).
Для \(x = -2\): \((-2)^3 - (-2)^2 + (-2) - 2 = -8 - 4 - 2 - 2 = -16 \ne 0\).
Перебраны все делители числа \(-2\), поэтому целых корней у второго уравнения нет.
3) Свободный член равен \(-10\), делители — те же, что в первом уравнении.
Для \(x = -2\): \((-2)^3 + 5 \cdot (-2)^2 + (-2) - 10 = -8 + 20 - 2 - 10 = 0\) — у третьего уравнения есть целый корень \(-2\).
Ответ: не имеет целых корней уравнение 2) \(x^3 - x^2 + x - 2 = 0\).
Какое из уравнений не имеет целых корней: 1) \(x^3 + 2x^2 - 3x - 10 = 0\); 2) \(x^3 - x^2 + x - 2 = 0\); 3) \(x^3 + 5x^2 + x - 10 = 0\)?
Коэффициенты всех трёх многочленов — целые числа, поэтому целым корнем каждого из уравнений может быть только делитель его свободного члена. Чтобы показать, что у уравнения есть целый корень, достаточно найти один такой корень; чтобы показать, что целых корней нет, нужно проверить все делители свободного члена.
1) Свободный член равен \(-10\), его делители — числа \(1; 2; 5; 10\) и противоположные им числа \(-1; -2; -5; -10\). Подставим 2 в многочлен \(x^3 + 2x^2 - 3x - 10\): \(2^3 + 2 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 - 10 = 8 + 8 - 6 - 10 = 0\). Значит, у первого уравнения есть целый корень 2.
2) Свободный член равен \(-2\), его делители — числа \(1; 2\) и противоположные им числа \(-1; -2\). Подставим их в многочлен \(x^3 - x^2 + x - 2\).
Для \(x = 1\): \(1^3 - 1^2 + 1 - 2 = 1 - 1 + 1 - 2 = -1 \ne 0\).
Для \(x = -1\): \((-1)^3 - (-1)^2 + (-1) - 2 = -1 - 1 - 1 - 2 = -5 \ne 0\).
Для \(x = 2\): \(2^3 - 2^2 + 2 - 2 = 8 - 4 + 2 - 2 = 4 \ne 0\).
Для \(x = -2\): \((-2)^3 - (-2)^2 + (-2) - 2 = -8 - 4 - 2 - 2 = -16 \ne 0\).
Перебрали все делители числа \(-2\), поэтому целых корней у второго уравнения нет.
3) Свободный член равен \(-10\), его делители — те же, что в первом уравнении. Подставим \(-2\) в многочлен \(x^3 + 5x^2 + x - 10\): \((-2)^3 + 5 \cdot (-2)^2 + (-2) - 10 = -8 + 20 - 2 - 10 = 0\). Значит, у третьего уравнения есть целый корень \(-2\).
Ответ: не имеет целых корней уравнение 2) \(x^3 - x^2 + x - 2 = 0\).
