Страница 70 номер 262, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(\frac{(x + 5)(x - 4)}{\sqrt{x + 3}} = 0\); б) \(\frac{(x - 5)(2 + 2x)}{x + 1} = 0\); в) \(\frac{5}{x - 1} = -\frac{5}{8}\).
а) Подкоренное выражение не может быть отрицательным, а знаменатель — равным нулю, поэтому \(x + 3 > 0\), то есть \(x > -3\).
\((x + 5)(x - 4) = 0\);
\(x + 5 = 0\) или \(x - 4 = 0\);
\(x = -5\) или \(x = 4\).
\(-5 < -3\) и \(4 > -3\), поэтому \(-5\) не является корнем, а корень уравнения — 4.
б) \((x - 5)(2 + 2x) = 0\);
\(x - 5 = 0\) или \(2 + 2x = 0\);
\(x = 5\) или \(x = -1\).
При \(x = 5\) знаменатель \(x + 1\) равен \(5 + 1 = 6 \ne 0\), значит, 5 — корень уравнения.
При \(x = -1\) знаменатель равен \(-1 + 1 = 0\), поэтому \(-1\) не является корнем.
в) \(\frac{5}{x - 1} = \frac{5}{-8}\). Числители равны и отличны от нуля, поэтому равны знаменатели: \(x - 1 = -8\);
\(x = -7\).
При \(x = -7\) знаменатель \(x - 1\) равен \(-7 - 1 = -8 \ne 0\), значит, \(-7\) — корень уравнения.
Ответ: а) \(4\); б) \(5\); в) \(-7\).
Решите уравнение: а) \(\frac{(x + 5)(x - 4)}{\sqrt{x + 3}} = 0\); б) \(\frac{(x - 5)(2 + 2x)}{x + 1} = 0\); в) \(\frac{5}{x - 1} = -\frac{5}{8}\).
а) В знаменателе стоит квадратный корень. Корень имеет смысл только при неотрицательном подкоренном выражении, а знаменатель не может быть равен нулю, поэтому выражение \(x + 3\) может принимать только положительные значения: \(x + 3 > 0\), то есть \(x > -3\).
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель имеет смысл и не равен нулю. Приравняем числитель к нулю: \((x + 5)(x - 4) = 0\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x + 5 = 0\) или \(x - 4 = 0\);
\(x = -5\) или \(x = 4\). Поскольку \(-5 < -3\) и \(4 > -3\), число \(-5\) не является корнем исходного уравнения, а корнем исходного уравнения будет число 4.
б) Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю: \((x - 5)(2 + 2x) = 0\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x - 5 = 0\) или \(2 + 2x = 0\);
\(x = 5\) или \(x = -1\).
Подставим найденные числа в знаменатель \(x + 1\) исходного уравнения.
При \(x = 5\) имеем: \(5 + 1 = 6 \ne 0\).
При \(x = -1\) имеем: \(-1 + 1 = 0\) — знаменатель обращается в нуль, поэтому \(-1\) не является корнем уравнения.
Следовательно, корнем исходного уравнения является число 5.
в) Внесём знак минус, стоящий перед дробью в правой части уравнения, в знаменатель: \(\frac{5}{x - 1} = \frac{5}{-8}\). Числители дробей в левой и правой частях равны и отличны от нуля, поэтому равенство выполняется только тогда, когда равны знаменатели: \(x - 1 = -8\);
\(x = -7\). При \(x = -7\) знаменатель \(x - 1\) равен \(-7 - 1 = -8 \ne 0\), значит, число \(-7\) является корнем уравнения.
Ответ: а) \(4\); б) \(5\); в) \(-7\).
