Страница 70 номер 260, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(\frac{(2 - 4x)(3x - 2)}{2x - 1} = 0\); б) \(-\frac{13}{x + 5} = \frac{13}{7}\); в) \(x(3 - x)(2x - 8) = 0\); г) \((5x + 4)^2 = (3 - x)^2\).
а) \((2 - 4x)(3x - 2) = 0\);
\(2 - 4x = 0\) или \(3x - 2 = 0\);
\(x = 0{,}5\) или \(x = \frac{2}{3}\).
При \(x = 0{,}5\) знаменатель \(2x - 1\) равен \(2 \cdot 0{,}5 - 1 = 1 - 1 = 0\), поэтому \(0{,}5\) не является корнем.
При \(x = \frac{2}{3}\) знаменатель равен \(2 \cdot \frac{2}{3} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} \ne 0\), значит, \(\frac{2}{3}\) — корень уравнения.
б) \(\frac{13}{-(x + 5)} = \frac{13}{7}\). Числители равны и отличны от нуля, поэтому равны знаменатели: \(-(x + 5) = 7\);
\(x + 5 = -7\);
\(x = -12\).
При \(x = -12\) знаменатель \(x + 5\) равен \(-12 + 5 = -7 \ne 0\), значит, \(-12\) — корень уравнения.
в) \(x = 0\), или \(3 - x = 0\), или \(2x - 8 = 0\);
\(x = 0\), или \(x = 3\), или \(x = 4\).
г)
\[\begin{aligned} (5x + 4)^2 - (3 - x)^2 &= 0; \\ (5x + 4 - (3 - x))(5x + 4 + (3 - x)) &= 0; \\ (5x + 4 - 3 + x)(5x + 4 + 3 - x) &= 0; \\ (6x + 1)(4x + 7) &= 0. \end{aligned}\]
\(6x + 1 = 0\) или \(4x + 7 = 0\);
\(x = -\frac{1}{6}\) или \(x = -\frac{7}{4} = -1{,}75\).
Ответ: а) \(\frac{2}{3}\); б) \(-12\); в) \(0\); \(3\); \(4\); г) \(-1{,}75\); \(-\frac{1}{6}\).
Решите уравнение: а) \(\frac{(2 - 4x)(3x - 2)}{2x - 1} = 0\); б) \(-\frac{13}{x + 5} = \frac{13}{7}\); в) \(x(3 - x)(2x - 8) = 0\); г) \((5x + 4)^2 = (3 - x)^2\).
а) Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю: \((2 - 4x)(3x - 2) = 0\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(2 - 4x = 0\) или \(3x - 2 = 0\);
\(x = 0{,}5\) или \(x = \frac{2}{3}\).
Подставим найденные числа в знаменатель \(2x - 1\) исходного уравнения.
При \(x = 0{,}5\) имеем: \(2 \cdot 0{,}5 - 1 = 1 - 1 = 0\) — знаменатель обращается в нуль, поэтому \(0{,}5\) не является корнем уравнения.
При \(x = \frac{2}{3}\) имеем: \(2 \cdot \frac{2}{3} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} \ne 0\).
Следовательно, корнем исходного уравнения является число \(\frac{2}{3}\).
б) Внесём знак минус, стоящий перед дробью в левой части уравнения, в знаменатель: \(\frac{13}{-(x + 5)} = \frac{13}{7}\). Числители дробей в левой и правой частях равны и отличны от нуля, поэтому равенство выполняется только тогда, когда равны знаменатели: \(-(x + 5) = 7\);
\(x + 5 = -7\);
\(x = -12\). При \(x = -12\) знаменатель \(x + 5\) исходного уравнения равен \(-12 + 5 = -7 \ne 0\), значит, число \(-12\) является корнем уравнения.
в) Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\), или \(3 - x = 0\), или \(2x - 8 = 0\);
\(x = 0\), или \(x = 3\), или \(x = 4\).
г) Перенесём \((3 - x)^2\) в левую часть уравнения и разложим разность квадратов на множители по формуле \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\):
\[\begin{aligned} (5x + 4)^2 - (3 - x)^2 &= 0; \\ (5x + 4 - (3 - x))(5x + 4 + (3 - x)) &= 0; \\ (5x + 4 - 3 + x)(5x + 4 + 3 - x) &= 0; \\ (6x + 1)(4x + 7) &= 0. \end{aligned}\]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(6x + 1 = 0\) или \(4x + 7 = 0\);
\(x = -\frac{1}{6}\) или \(x = -\frac{7}{4} = -1{,}75\).
Ответ: а) \(\frac{2}{3}\); б) \(-12\); в) \(0\); \(3\); \(4\); г) \(-1{,}75\); \(-\frac{1}{6}\).
