Страница 64 номер 258, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(p\) множество решений неравенства \(x^2 - px + 2x \le 2p\) содержит ровно 5 целых чисел?
\[\begin{aligned} x^2 - px + 2x &\leqslant 2p; \\ x^2 - px + 2x - 2p &\leqslant 0; \\ x(x - p) + 2(x - p) &\leqslant 0; \\ (x + 2)(x - p) &\leqslant 0. \end{aligned}\] Корни уравнения \((x + 2)(x - p) = 0\) — числа \(-2\) и \(p\). Если \(p \ne -2\), то правее большего из корней оба множителя положительны, а при переходе через каждый корень знак произведения меняется: каждый множитель стоит в первой степени.
Пусть \(p < -2\). Произведение положительно при \(x > -2\), отрицательно на интервале \((p; -2)\) и положительно при \(x < p\); неравенство нестрогое, концы входят — множество решений \([p; -2]\).
Целые числа отрезка — \(-2\), \(-3\), \(-4\) и так далее, пока они не меньше \(p\). Их ровно пять, когда это числа \(-6\); \(-5\); \(-4\); \(-3\); \(-2\), то есть когда число \(-6\) отрезку принадлежит, а число \(-7\) не принадлежит: \(-7 < p \leqslant -6\).
Пусть \(p = -2\). Неравенство принимает вид \((x + 2)^2 \leqslant 0\) и выполняется только при \(x = -2\): квадрат числа не бывает отрицательным. Множество решений содержит лишь одно целое число — значение \(p = -2\) не подходит.
Пусть \(p > -2\). Произведение положительно при \(x > p\), отрицательно на интервале \((-2; p)\) и положительно при \(x < -2\); неравенство нестрогое, концы входят — множество решений \([-2; p]\).
Целые числа отрезка — \(-2\), \(-1\), 0, 1 и так далее, пока они не больше \(p\). Их ровно пять, когда это числа \(-2\); \(-1\); 0; 1; 2, то есть когда число 2 отрезку принадлежит, а число 3 не принадлежит: \(2 \leqslant p < 3\).
Ответ: при \(-7 < p \leqslant -6\) и при \(2 \leqslant p < 3\).
При каких значениях параметра \(p\) множество решений неравенства \(x^2 - px + 2x \le 2p\) содержит ровно 5 целых чисел?
Перенесём \(2p\) в левую часть и разложим её на множители способом группировки: \[\begin{aligned} x^2 - px + 2x &\leqslant 2p; \\ x^2 - px + 2x - 2p &\leqslant 0; \\ x(x - p) + 2(x - p) &\leqslant 0; \\ (x + 2)(x - p) &\leqslant 0. \end{aligned}\] Решим это неравенство методом интервалов для произвольного \(p\). Корнями уравнения \((x + 2)(x - p) = 0\) являются числа \(-2\) и \(p\). Точка \(p\) на числовой прямой может лежать левее точки \(-2\), совпадать с ней или лежать правее неё. Если \(p \ne -2\), то правее большего из корней оба множителя \(x + 2\) и \(x - p\) положительны, а при переходе через каждый корень знак произведения меняется, так как каждый множитель стоит в первой степени.
Пусть \(p < -2\). Тогда произведение положительно при \(x > -2\), отрицательно на интервале \((p; -2)\) и положительно при \(x < p\). Неравенство нестрогое, поэтому концы входят, и множество решений — отрезок \([p; -2]\). Его правый конец — целое число \(-2\), поэтому целые числа отрезка — это \(-2\), \(-3\), \(-4\) и так далее, пока они не меньше \(p\). Их ровно пять, когда это числа \(-6\); \(-5\); \(-4\); \(-3\); \(-2\), то есть когда число \(-6\) отрезку принадлежит, а число \(-7\) не принадлежит: \(-7 < p \leqslant -6\).
Пусть \(p = -2\). Неравенство принимает вид \((x + 2)^2 \leqslant 0\). Квадрат числа не бывает отрицательным, поэтому неравенство выполняется только при \(x + 2 = 0\), то есть при \(x = -2\). Множество решений содержит лишь одно целое число, поэтому значение \(p = -2\) не подходит.
Пусть \(p > -2\). Тогда произведение положительно при \(x > p\), отрицательно на интервале \((-2; p)\) и положительно при \(x < -2\). Концы входят, так как неравенство нестрогое, и множество решений — отрезок \([-2; p]\). Его левый конец — целое число \(-2\), поэтому целые числа отрезка — это \(-2\), \(-1\), 0, 1 и так далее, пока они не больше \(p\). Их ровно пять, когда это числа \(-2\); \(-1\); 0; 1; 2, то есть когда число 2 отрезку принадлежит, а число 3 не принадлежит: \(2 \leqslant p < 3\).
Ответ: при \(-7 < p \leqslant -6\) и при \(2 \leqslant p < 3\).
