Страница 64 номер 257, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \((0{,}5x - 11)(9 - 2x)(6 - 3x) < 0\); б) \(x^2(x + 1)^4 > 0\).
а) \[\begin{aligned} 0{,}5x - 11 &= 0{,}5(x - 22); \\ 9 - 2x &= -2(x - 4{,}5); \\ 6 - 3x &= -3(x - 2). \end{aligned}\] \(0{,}5 \cdot (-2) \cdot (-3) = 3\) — произведение числовых множителей положительно, при делении на 3 знак неравенства сохраняется: \[\begin{aligned} 3(x - 22)(x - 4{,}5)(x - 2) &< 0; \qquad | : 3 \\ (x - 22)(x - 4{,}5)(x - 2) &< 0. \end{aligned}\] Корни уравнения \((x - 22)(x - 4{,}5)(x - 2) = 0\) — числа 2; \(4{,}5\); 22.
При \(x > 22\) все множители \(x - 22\), \(x - 4{,}5\), \(x - 2\) положительны — произведение положительно. Каждый множитель стоит в первой степени, поэтому при переходе через каждый корень знак произведения меняется: на интервале \((4{,}5; 22)\) оно отрицательно, на интервале \((2; 4{,}5)\) — положительно, на промежутке \((-\infty; 2)\) — отрицательно.
Произведение отрицательно на промежутках \((-\infty; 2)\) и \((4{,}5; 22)\); неравенство строгое, концы промежутков не входят в множество решений:
б) Корни уравнения \(x^2(x + 1)^4 = 0\) — числа \(-1\) и 0.
При \(x > 0\) оба множителя \(x^2\) и \((x + 1)^4\) положительны — произведение положительно. Множитель \(x\) стоит во второй степени, \(x + 1\) — в четвёртой, обе степени чётные, поэтому при переходе через 0 и через \(-1\) знак произведения не меняется: на интервале \((-1; 0)\) и на промежутке \((-\infty; -1)\) оно тоже положительно.
В точках \(-1\) и 0 произведение равно нулю, а неравенство строгое — эти точки в множество решений не входят; неравенство выполняется на всех трёх промежутках:
Ответ: а) \((-\infty; 2) \cup (4{,}5; 22)\); б) \((-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)\).
Решите неравенство: а) \((0{,}5x - 11)(9 - 2x)(6 - 3x) < 0\); б) \(x^2(x + 1)^4 > 0\).
а) Воспользуемся методом интервалов. Вынесем в каждом множителе коэффициент при \(x\) за скобки, чтобы в скобках коэффициент при \(x\) был равен 1: \[\begin{aligned} 0{,}5x - 11 &= 0{,}5(x - 22); \\ 9 - 2x &= -2(x - 4{,}5); \\ 6 - 3x &= -3(x - 2). \end{aligned}\] Произведение числовых множителей \(0{,}5 \cdot (-2) \cdot (-3) = 3\) положительно. Разделим обе части неравенства на положительное число 3 — знак неравенства при этом сохраняется: \[\begin{aligned} 3(x - 22)(x - 4{,}5)(x - 2) &< 0; \qquad | : 3 \\ (x - 22)(x - 4{,}5)(x - 2) &< 0. \end{aligned}\] Корни уравнения \((x - 22)(x - 4{,}5)(x - 2) = 0\) — числа 2; \(4{,}5\); 22. Они разбивают числовую прямую на четыре промежутка.
При \(x > 22\) каждый из множителей \(x - 22\), \(x - 4{,}5\), \(x - 2\) положителен, значит, произведение положительно. Каждый множитель стоит в первой, нечётной степени, поэтому при переходе через каждый корень знак произведения меняется: на интервале \((4{,}5; 22)\) произведение отрицательно, на интервале \((2; 4{,}5)\) — положительно, на промежутке \((-\infty; 2)\) — отрицательно.
Неравенство выполняется на промежутках, где произведение отрицательно: \((-\infty; 2)\) и \((4{,}5; 22)\). Неравенство строгое, поэтому концы промежутков не входят в множество решений:
б) Воспользуемся методом интервалов. Произведение \(x^2(x + 1)^4\) равно нулю, когда \(x = 0\) или \(x + 1 = 0\), то есть корни уравнения \(x^2(x + 1)^4 = 0\) — числа \(-1\) и 0. Они разбивают числовую прямую на три промежутка.
При \(x > 0\) оба множителя \(x^2\) и \((x + 1)^4\) положительны, значит, произведение положительно. Множитель \(x\) стоит во второй степени, а множитель \(x + 1\) — в четвёртой. Обе степени чётные, поэтому при переходе через 0 и через \(-1\) знак произведения не меняется: на интервале \((-1; 0)\) и на промежутке \((-\infty; -1)\) произведение тоже положительно.
В точках \(-1\) и 0 произведение равно нулю, а неравенство строгое, поэтому эти точки в множество решений не входят. Неравенство выполняется на всех трёх промежутках:
Ответ: а) \((-\infty; 2) \cup (4{,}5; 22)\); б) \((-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)\).
