Страница 64 номер 256, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите область определения функции \(y = \frac{\sqrt{3x - 9}}{\sqrt{x^2 - 3x - 10}}\).
Функция определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны, а знаменатель не равен нулю, то есть подкоренное выражение знаменателя положительно: \[\begin{cases} 3x - 9 \geqslant 0, \\ x^2 - 3x - 10 > 0. \end{cases}\] Первое неравенство: \[\begin{aligned} 3x - 9 &\geqslant 0; \\ 3x &\geqslant 9; \qquad | : 3 \\ x &\geqslant 3. \end{aligned}\] Корни трёхчлена \(x^2 - 3x - 10\): \[\begin{aligned} x^2 - 3x - 10 &= 0; \\ D &= (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49; \\ x_1 &= \frac{3 - 7}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{3 + 7}{2} = 5. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\) — ветви параболы \(y = x^2 - 3x - 10\) направлены вверх, трёхчлен положителен при \(x < -2\) и при \(x > 5\); неравенство строгое, корни \(-2\) и 5 в множество решений не входят.
Пересечение множеств \([3; +\infty)\) и \((-\infty; -2) \cup (5; +\infty)\):
Числа, не меньшие 3, не бывают меньше \(-2\), а каждое число, большее 5, больше и 3, поэтому пересечение, а значит, и область определения функции — промежуток \((5; +\infty)\).
Ответ: \((5; +\infty)\).
Найдите область определения функции \(y = \frac{\sqrt{3x - 9}}{\sqrt{x^2 - 3x - 10}}\).
Выражение \(\frac{\sqrt{3x - 9}}{\sqrt{x^2 - 3x - 10}}\) имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны и знаменатель не равен нулю. Корень равен нулю, когда равно нулю подкоренное выражение, поэтому подкоренное выражение знаменателя должно быть положительным. Значит, область определения функции — множество решений системы \[\begin{cases} 3x - 9 \geqslant 0, \\ x^2 - 3x - 10 > 0. \end{cases}\]
Решим первое неравенство: \[\begin{aligned} 3x - 9 &\geqslant 0; \\ 3x &\geqslant 9; \qquad | : 3 \\ x &\geqslant 3. \end{aligned}\]
Решим второе неравенство. Найдём корни квадратного трёхчлена \(x^2 - 3x - 10\): \[\begin{aligned} x^2 - 3x - 10 &= 0; \\ D &= (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49; \\ x_1 &= \frac{3 - 7}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{3 + 7}{2} = 5. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\), поэтому ветви параболы \(y = x^2 - 3x - 10\) направлены вверх, и трёхчлен положителен левее меньшего корня и правее большего: при \(x < -2\) и при \(x > 5\). Неравенство строгое, поэтому корни \(-2\) и 5 в множество его решений не входят.
Изобразим множества решений обоих неравенств — \([3; +\infty)\) и \((-\infty; -2) \cup (5; +\infty)\) — на одной числовой прямой и найдём их пересечение:
Числа, не меньшие 3, не бывают меньше \(-2\), а каждое число, большее 5, больше и 3. Поэтому пересечение этих множеств, а значит, и область определения функции — промежуток \((5; +\infty)\).
Ответ: \((5; +\infty)\).
