Страница 64 номер 253, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \((x - 3)^3(x + 2)^4 \ge 0\); б) \((x^2 - 16)^3(2x + 1)^2 < 0\); в) \(\frac{(x - 1)(3 - x)}{(x + 5)(x + 10)} \le 0\).
а) Левая часть обращается в нуль при \(x = 3\) и при \(x = -2\). При \(x > 3\) оба множителя \((x - 3)^3\) и \((x + 2)^4\) положительны, поэтому левая часть положительна. Множитель \(x - 3\) стоит в нечётной (третьей) степени — при переходе через 3 знак меняется: на \((-2; 3)\) — «−». Множитель \(x + 2\) стоит в чётной (четвёртой) степени — при переходе через \(-2\) знак сохраняется: на \((-\infty; -2)\) — «−». Проверка: при \(x = 0\) получаем \((-3)^3 \cdot 2^4 = -27 \cdot 16 < 0\).
Неравенству \(\geqslant 0\) отвечают промежуток со знаком «+», то есть \((3; +\infty)\), и точки, в которых левая часть равна нулю: неравенство нестрогое, поэтому числа 3 и \(-2\) входят в множество решений. Точка \(-2\) стоит отдельно: по обе стороны от неё левая часть отрицательна.
Множество решений — \(\{-2\} \cup [3; +\infty)\).
б) \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) и \(2x + 1 = 2(x + 0{,}5)\), поэтому \[(x^2 - 16)^3(2x + 1)^2 = 4(x - 4)^3(x + 4)^3(x + 0{,}5)^2.\] Левая часть обращается в нуль при \(x = 4\), \(x = -4\) и \(x = -0{,}5\). При \(x > 4\) все множители вида \((x - x_0)\) и числовой множитель 4 положительны, поэтому левая часть положительна. Множители \(x - 4\) и \(x + 4\) стоят в нечётной (третьей) степени — при переходе через 4 и через \(-4\) знак меняется; множитель \(x + 0{,}5\) стоит в чётной (второй) степени — при переходе через \(-0{,}5\) знак сохраняется. Знаки: на \((4; +\infty)\) — «+», на \((-0{,}5; 4)\) — «−», на \((-4; -0{,}5)\) — «−», на \((-\infty; -4)\) — «+». Проверка: при \(x = 0\) получаем \((0 - 16)^3 \cdot (0 + 1)^2 = -4096 < 0\).
Неравенству \(< 0\) отвечают промежутки со знаком «−»; неравенство строгое, поэтому числа \(-4\); \(-0{,}5\); 4 в множество решений не входят — в том числе точка \(-0{,}5\): в ней левая часть равна нулю, хотя по обе стороны от неё она отрицательна.
Множество решений — \((-4; -0{,}5) \cup (-0{,}5; 4)\).
в) \(3 - x = -(x - 3)\); при умножении обеих частей на \(-1\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} -\frac{(x - 1)(x - 3)}{(x + 5)(x + 10)} &\leqslant 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x + 5)(x + 10)} &\geqslant 0. \end{aligned}\] Числитель обращается в нуль при \(x = 1\) и при \(x = 3\), знаменатель — при \(x = -5\) и при \(x = -10\); при этих двух значениях дробь не определена. При \(x > 3\) все множители положительны, поэтому дробь положительна. Все множители стоят в первой степени — при переходе через каждую из точек знак дроби меняется: на \((1; 3)\) — «−», на \((-5; 1)\) — «+», на \((-10; -5)\) — «−», на \((-\infty; -10)\) — «+». Проверка: при \(x = 0\) получаем \(\frac{(0 - 1) \cdot (0 - 3)}{(0 + 5) \cdot (0 + 10)} = \frac{3}{50} > 0\).
Неравенству \(\geqslant 0\) отвечают промежутки со знаком «+»; неравенство нестрогое, поэтому нули числителя 1 и 3 входят в множество решений, а нули знаменателя \(-10\) и \(-5\) не входят.
Множество решений — \((-\infty; -10) \cup (-5; 1] \cup [3; +\infty)\).
Ответ: а) \(\{-2\} \cup [3; +\infty)\); б) \((-4; -0{,}5) \cup (-0{,}5; 4)\); в) \((-\infty; -10) \cup (-5; 1] \cup [3; +\infty)\).
Решите неравенство: а) \((x - 3)^3(x + 2)^4 \ge 0\); б) \((x^2 - 16)^3(2x + 1)^2 < 0\); в) \(\frac{(x - 1)(3 - x)}{(x + 5)(x + 10)} \le 0\).
а) Решим неравенство \((x - 3)^3(x + 2)^4 \geqslant 0\) методом интервалов. Левая часть обращается в нуль при \(x = 3\) и при \(x = -2\). Эти числа разбивают числовую прямую на три промежутка. При \(x > 3\) оба множителя \((x - 3)^3\) и \((x + 2)^4\) положительны, поэтому левая часть положительна. Множитель \(x - 3\) стоит в нечётной (третьей) степени, поэтому при переходе через 3 знак меняется: на \((-2; 3)\) — «−». Множитель \(x + 2\) стоит в чётной (четвёртой) степени, поэтому при переходе через \(-2\) знак сохраняется: на \((-\infty; -2)\) — «−». Проверка подстановкой: при \(x = 0\) получаем \((-3)^3 \cdot 2^4 = -27 \cdot 16 < 0\).
Неравенству \(\geqslant 0\) отвечают промежуток со знаком «+», то есть \((3; +\infty)\), и точки, в которых левая часть равна нулю: неравенство нестрогое, поэтому числа 3 и \(-2\) входят в множество решений. Точка \(-2\) стоит отдельно: по обе стороны от неё левая часть отрицательна.
Множество решений — \(\{-2\} \cup [3; +\infty)\).
б) Решим неравенство \((x^2 - 16)^3(2x + 1)^2 < 0\) методом интервалов. Запишем множители в виде \((x - x_0)\): \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) и \(2x + 1 = 2(x + 0{,}5)\), поэтому \[(x^2 - 16)^3(2x + 1)^2 = 4(x - 4)^3(x + 4)^3(x + 0{,}5)^2.\] Левая часть обращается в нуль при \(x = 4\), \(x = -4\) и \(x = -0{,}5\). При \(x > 4\) все множители вида \((x - x_0)\) положительны и числовой множитель 4 положителен, поэтому левая часть положительна. Множители \(x - 4\) и \(x + 4\) стоят в нечётной (третьей) степени, поэтому при переходе через 4 и через \(-4\) знак меняется; множитель \(x + 0{,}5\) стоит в чётной (второй) степени, поэтому при переходе через \(-0{,}5\) знак сохраняется. Получаем знаки: на \((4; +\infty)\) — «+», на \((-0{,}5; 4)\) — «−», на \((-4; -0{,}5)\) — «−», на \((-\infty; -4)\) — «+». Проверка подстановкой: при \(x = 0\) получаем \((0 - 16)^3 \cdot (0 + 1)^2 = -4096 < 0\).
Неравенству \(< 0\) отвечают промежутки со знаком «−». Неравенство строгое, поэтому числа \(-4\); \(-0{,}5\); 4 в множество решений не входят — в том числе точка \(-0{,}5\): в ней левая часть равна нулю, хотя по обе стороны от неё она отрицательна.
Множество решений — \((-4; -0{,}5) \cup (-0{,}5; 4)\).
в) Решим неравенство \(\frac{(x - 1)(3 - x)}{(x + 5)(x + 10)} \leqslant 0\) методом интервалов. Запишем множитель \(3 - x\) в виде \(-(x - 3)\) и умножим обе части неравенства на \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} -\frac{(x - 1)(x - 3)}{(x + 5)(x + 10)} &\leqslant 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x + 5)(x + 10)} &\geqslant 0. \end{aligned}\] Числитель обращается в нуль при \(x = 1\) и при \(x = 3\), знаменатель — при \(x = -5\) и при \(x = -10\); при этих двух значениях дробь не определена. Числа \(-10\); \(-5\); 1; 3 разбивают числовую прямую на пять промежутков. При \(x > 3\) все множители положительны, поэтому дробь положительна. Все множители стоят в первой степени, поэтому при переходе через каждую из точек знак дроби меняется: на \((1; 3)\) — «−», на \((-5; 1)\) — «+», на \((-10; -5)\) — «−», на \((-\infty; -10)\) — «+». Проверка подстановкой: при \(x = 0\) получаем \(\frac{(0 - 1) \cdot (0 - 3)}{(0 + 5) \cdot (0 + 10)} = \frac{3}{50} > 0\).
Неравенству \(\geqslant 0\) отвечают промежутки со знаком «+». Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя 1 и 3 входят в множество решений, а нули знаменателя \(-10\) и \(-5\) не входят.
Множество решений — \((-\infty; -10) \cup (-5; 1] \cup [3; +\infty)\).
Ответ: а) \(\{-2\} \cup [3; +\infty)\); б) \((-4; -0{,}5) \cup (-0{,}5; 4)\); в) \((-\infty; -10) \cup (-5; 1] \cup [3; +\infty)\).
