Страница 64 номер 252, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите область определения функции: а) \(y = \sqrt{-x^2 + 8x - 15}\); б) \(y = \frac{-6}{\sqrt{5x - x^2 - 6}}\).
а) Подкоренное выражение неотрицательно: \(-x^2 + 8x - 15 \geqslant 0\).
Корни трёхчлена \(-x^2 + 8x - 15\): \[\begin{aligned} -x^2 + 8x - 15 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 8x + 15 &= 0; \\ D &= (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4; \\ x_1 &= \frac{8 - \sqrt{4}}{2} = \frac{8 - 2}{2} = 3; \\ x_2 &= \frac{8 + \sqrt{4}}{2} = \frac{8 + 2}{2} = 5. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1 < 0\) — ветви параболы \(y = -x^2 + 8x - 15\) направлены вниз.
Парабола лежит выше оси \(x\) между точками 3 и 5, а в самих этих точках значение трёхчлена равно нулю; неравенство нестрогое, поэтому нули 3 и 5 входят в множество решений. Область определения функции — \([3; 5]\).
б) Нужны два условия: подкоренное выражение неотрицательно, \(5x - x^2 - 6 \geqslant 0\), и знаменатель не равен нулю, \(\sqrt{5x - x^2 - 6} \ne 0\). Корень равен нулю, только когда подкоренное выражение равно нулю, поэтому оба условия вместе означают, что \(5x - x^2 - 6 > 0\), то есть \(-x^2 + 5x - 6 > 0\). Числитель \(-6\) — число, других условий нет.
Корни трёхчлена \(-x^2 + 5x - 6\): \[\begin{aligned} -x^2 + 5x - 6 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 5x + 6 &= 0; \\ D &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1; \\ x_1 &= \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2; \\ x_2 &= \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1 < 0\) — ветви параболы \(y = -x^2 + 5x - 6\) направлены вниз.
Парабола лежит выше оси \(x\) между точками 2 и 3; неравенство строгое, поэтому нули 2 и 3 в множество решений не входят — при этих значениях \(x\) знаменатель обращается в нуль. Область определения функции — \((2; 3)\).
Ответ: а) \([3; 5]\); б) \((2; 3)\).
Найдите область определения функции: а) \(y = \sqrt{-x^2 + 8x - 15}\); б) \(y = \frac{-6}{\sqrt{5x - x^2 - 6}}\).
а) Функция \(y = \sqrt{-x^2 + 8x - 15}\) определена при тех значениях \(x\), при которых подкоренное выражение неотрицательно: \(-x^2 + 8x - 15 \geqslant 0\). Найдём корни трёхчлена \(-x^2 + 8x - 15\); для этого умножим обе части уравнения \(-x^2 + 8x - 15 = 0\) на \(-1\): \[\begin{aligned} -x^2 + 8x - 15 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 8x + 15 &= 0; \\ D &= (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4; \\ x_1 &= \frac{8 - \sqrt{4}}{2} = \frac{8 - 2}{2} = 3; \\ x_2 &= \frac{8 + \sqrt{4}}{2} = \frac{8 + 2}{2} = 5. \end{aligned}\] Ветви параболы \(y = -x^2 + 8x - 15\) направлены вниз, так как коэффициент при \(x^2\) равен \(-1 < 0\). Нарисуем эскиз параболы и выделим штриховкой множество решений неравенства \(-x^2 + 8x - 15 \geqslant 0\):
Парабола лежит выше оси \(x\) между точками 3 и 5, а в самих этих точках значение трёхчлена равно нулю. Неравенство нестрогое, поэтому нули 3 и 5 входят в множество решений. Область определения функции — \([3; 5]\).
б) Для того чтобы выражение \(\frac{-6}{\sqrt{5x - x^2 - 6}}\) имело смысл, нужны два условия: подкоренное выражение неотрицательно, \(5x - x^2 - 6 \geqslant 0\), и знаменатель не равен нулю, \(\sqrt{5x - x^2 - 6} \ne 0\). Арифметический квадратный корень равен нулю только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю, поэтому оба условия вместе означают, что подкоренное выражение положительно: \(5x - x^2 - 6 > 0\), то есть \(-x^2 + 5x - 6 > 0\). Числитель \(-6\) — число, и других условий нет.
Найдём корни трёхчлена \(-x^2 + 5x - 6\); для этого умножим обе части уравнения \(-x^2 + 5x - 6 = 0\) на \(-1\): \[\begin{aligned} -x^2 + 5x - 6 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 5x + 6 &= 0; \\ D &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1; \\ x_1 &= \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2; \\ x_2 &= \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3. \end{aligned}\] Ветви параболы \(y = -x^2 + 5x - 6\) направлены вниз, так как коэффициент при \(x^2\) равен \(-1 < 0\). Нарисуем эскиз параболы и выделим штриховкой множество решений неравенства \(-x^2 + 5x - 6 > 0\):
Парабола лежит выше оси \(x\) между точками 2 и 3. Неравенство строгое, поэтому нули 2 и 3 в множество решений не входят: при этих значениях \(x\) знаменатель обращается в нуль. Область определения функции — \((2; 3)\).
Ответ: а) \([3; 5]\); б) \((2; 3)\).
