Страница 64 номер 251, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \((x - 0{,}5)(x + 2) \le 0\); б) \(-2x^2 + 5x - 3 < 0\).
а) Левая часть обращается в нуль при \(x = 0{,}5\) и при \(x = -2\). При \(x > 0{,}5\) оба множителя \(x - 0{,}5\) и \(x + 2\) положительны, поэтому произведение положительно. Оба множителя стоят в первой степени — при переходе через каждый корень знак произведения меняется: на \((-2; 0{,}5)\) — «−», на \((-\infty; -2)\) — «+». Проверка: при \(x = 0\) получаем \((0 - 0{,}5) \cdot (0 + 2) = -1 < 0\).
Неравенству \(\leqslant 0\) отвечает промежуток со знаком «−»; неравенство нестрогое, поэтому корни \(-2\) и \(0{,}5\) входят в множество решений.
Множество решений — отрезок \([-2; 0{,}5]\).
б) Нули функции \(y = -2x^2 + 5x - 3\): \[\begin{aligned} -2x^2 + 5x - 3 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ 2x^2 - 5x + 3 &= 0; \\ D &= (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1; \\ x_1 &= \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = 1; \\ x_2 &= \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = 1{,}5. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) равен \(-2 < 0\) — ветви параболы направлены вниз.
Парабола лежит ниже оси \(x\) левее точки 1 и правее точки \(1{,}5\); неравенство строгое, поэтому нули 1 и \(1{,}5\) в множество решений не входят: \(x < 1\) или \(x > 1{,}5\).
Ответ: а) \([-2; 0{,}5]\); б) \((-\infty; 1) \cup (1{,}5; +\infty)\).
Решите неравенство: а) \((x - 0{,}5)(x + 2) \le 0\); б) \(-2x^2 + 5x - 3 < 0\).
а) Решим неравенство \((x - 0{,}5)(x + 2) \leqslant 0\) методом интервалов. Левая часть обращается в нуль при \(x = 0{,}5\) и при \(x = -2\). Эти числа разбивают числовую прямую на три промежутка. При \(x > 0{,}5\) оба множителя \(x - 0{,}5\) и \(x + 2\) положительны, поэтому произведение положительно. Оба множителя стоят в первой степени, поэтому при переходе через каждый корень знак произведения меняется: на \((-2; 0{,}5)\) — «−», на \((-\infty; -2)\) — «+». Проверка подстановкой: при \(x = 0\) получаем \((0 - 0{,}5) \cdot (0 + 2) = -1 < 0\).
Неравенству \(\leqslant 0\) отвечает промежуток со знаком «−». Неравенство нестрогое, поэтому корни \(-2\) и \(0{,}5\) входят в множество решений.
Множество решений — отрезок \([-2; 0{,}5]\).
б) Решим неравенство \(-2x^2 + 5x - 3 < 0\) графически. Найдём нули функции \(y = -2x^2 + 5x - 3\); для этого умножим обе части уравнения \(-2x^2 + 5x - 3 = 0\) на \(-1\): \[\begin{aligned} -2x^2 + 5x - 3 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ 2x^2 - 5x + 3 &= 0; \\ D &= (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1; \\ x_1 &= \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = 1; \\ x_2 &= \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = 1{,}5. \end{aligned}\] Ветви параболы \(y = -2x^2 + 5x - 3\) направлены вниз, так как коэффициент при \(x^2\) в этой функции равен \(-2 < 0\). Нарисуем эскиз параболы и выделим штриховкой множество решений:
Парабола лежит ниже оси \(x\) левее точки 1 и правее точки \(1{,}5\). Неравенство строгое, поэтому нули 1 и \(1{,}5\), в которых значение функции равно нулю, в множество решений не входят: \(x < 1\) или \(x > 1{,}5\).
Ответ: а) \([-2; 0{,}5]\); б) \((-\infty; 1) \cup (1{,}5; +\infty)\).
