Страница 64 номер 250, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте параболу \(y = 2x^2 + 5x - 7\). Укажите нули данной функции и значения \(x\), при которых \(y < 0\).
Коэффициент при \(x^2\) равен \(2 > 0\) — ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{5}{2 \cdot 2} = -1{,}25; \\ y_0 &= 2 \cdot (-1{,}25)^2 + 5 \cdot (-1{,}25) - 7 = 3{,}125 - 6{,}25 - 7 = -10{,}125. \end{aligned}\] Нули функции — корни уравнения \(2x^2 + 5x - 7 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81; \\ x_1 &= \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 9}{4} = -3{,}5; \\ x_2 &= \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 9}{4} = 1. \end{aligned}\] Парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-3{,}5; 0)\) и \((1; 0)\), а ось \(y\) — в точке \((0; -7)\); точка \((-2{,}5; -7)\) симметрична ей относительно оси параболы \(x = -1{,}25\).
\(\frac{-3{,}5 + 1}{2} = -1{,}25\) — абсцисса вершины лежит посередине между нулями, вычисления верны.
Между нулями парабола лежит ниже оси \(x\); неравенство \(y < 0\) строгое, поэтому сами нули, в которых \(y = 0\), в ответ не входят: \(y < 0\) при \(x \in (-3{,}5; 1)\).
Ответ: нули функции: \(-3{,}5\) и 1; \(y < 0\) при \(x \in (-3{,}5; 1)\).
Постройте параболу \(y = 2x^2 + 5x - 7\). Укажите нули данной функции и значения \(x\), при которых \(y < 0\).
Графиком функции \(y = 2x^2 + 5x - 7\) является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) равен \(2 > 0\). Построим её по ключевым точкам. Найдём координаты вершины: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{5}{2 \cdot 2} = -1{,}25; \\ y_0 &= 2 \cdot (-1{,}25)^2 + 5 \cdot (-1{,}25) - 7 = 3{,}125 - 6{,}25 - 7 = -10{,}125. \end{aligned}\] Нули функции — корни уравнения \(2x^2 + 5x - 7 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81; \\ x_1 &= \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 9}{4} = -3{,}5; \\ x_2 &= \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 9}{4} = 1. \end{aligned}\] Парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-3{,}5; 0)\) и \((1; 0)\), а ось \(y\) — в точке \((0; -7)\); точка \((-2{,}5; -7)\) симметрична ей относительно оси параболы \(x = -1{,}25\). Проверим вычисления: абсцисса вершины лежит посередине между нулями, \(\frac{-3{,}5 + 1}{2} = -1{,}25\). Отметим найденные точки и проведём через них параболу.
Значения функции отрицательны там, где парабола лежит ниже оси \(x\), — между нулями. Неравенство \(y < 0\) строгое, поэтому сами нули, в которых \(y = 0\), в ответ не входят: \(y < 0\) при \(x \in (-3{,}5; 1)\).
Ответ: нули функции: \(-3{,}5\) и 1; \(y < 0\) при \(x \in (-3{,}5; 1)\).
