Контрольные вопросы и задания на странице 64, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Свойства записаны для знака «<»; для знаков «>», «\(\leqslant\)» и «\(\geqslant\)» они формулируются так же.
- Неравенства одного знака можно почленно складывать: если \(a < b\) и \(c < d\), то \(a + c < b + d\); например, из \(3 < 7\) и \(-5 < -1\) следует \(3 + (-5) < 7 + (-1)\), то есть \(-2 < 6\). Почленно вычитать их нельзя: \(2 < 3\) и \(1 < 5\), но \(2 - 1 > 3 - 5\).
- К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число: если \(a < b\), то \(a + x < b + x\) при любом числе \(x\); например, из \(-4 < 1\) следует \(-4 + 6 < 1 + 6\), то есть \(2 < 7\). Поэтому любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный.
- При умножении или делении обеих частей неравенства на одно и то же положительное число знак неравенства сохраняется: если \(a < b\) и \(x > 0\), то \(ax < bx\); например, из \(-6 < 4\) следует \(-6 \cdot 0{,}5 < 4 \cdot 0{,}5\), то есть \(-3 < 2\).
- При умножении или делении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: если \(a < b\) и \(y < 0\), то \(ay > by\); например, из \(2 < 5\) следует \(2 \cdot (-3) > 5 \cdot (-3)\), то есть \(-6 > -15\).
- Неравенства одного знака, все части которых положительны, можно почленно перемножать: если \(0 < a < b\) и \(0 < c < d\), то \(ac < bd\); например, из \(2 < 3\) и \(4 < 5\) следует \(2 \cdot 4 < 3 \cdot 5\), то есть \(8 < 15\). Без условия положительности свойство неверно: \(-3 < -2\) и \(-4 < 1\), но \((-3) \cdot (-4) = 12\), \((-2) \cdot 1 = -2\) и \(12 > -2\).
- Если обе части неравенства положительны, то при переходе к обратным числам знак неравенства меняется на противоположный: если \(0 < a < b\), то \(\frac{1}{a} > \frac{1}{b}\); например, из \(2 < 5\) следует \(\frac{1}{2} > \frac{1}{5}\). Для чисел разных знаков это неверно: \(-1 < 2\) и \(\frac{1}{-1} < \frac{1}{2}\).
- Неравенство, обе части которого положительны, можно возвести в степень с натуральным показателем, сохранив знак неравенства: если \(0 < a < b\) и \(n\) — натуральное число, то \(a^n < b^n\); например, из \(2 < 3\) следует \(2^4 < 3^4\), то есть \(16 < 81\). В нечётную степень можно возводить неравенство с любыми частями: из \(-3 < 2\) следует \((-3)^3 < 2^3\), то есть \(-27 < 8\); в чётную так поступать нельзя: \(-3 < 2\), но \((-3)^2 > 2^2\), так как \(9 > 4\).
- Из обеих частей неравенства, значения которых положительны, можно извлечь квадратный корень, сохранив знак неравенства: если \(0 < a < b\), то \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\); например, из \(9 < 11\) следует \(\sqrt{9} < \sqrt{11}\), то есть \(3 < \sqrt{11}\).
Ответ: неравенства одного знака можно почленно складывать, а если все их части положительны — и почленно перемножать; к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число; при умножении или делении обеих частей на одно и то же положительное число знак неравенства сохраняется, а на отрицательное — меняется на противоположный; если обе части неравенства положительны, то при переходе к обратным числам знак неравенства меняется на противоположный, а при возведении в натуральную степень и извлечении квадратного корня сохраняется; в нечётную степень можно возводить неравенство с любыми частями.
Решение неравенства с одной переменной — значение переменной, при подстановке которого в неравенство получается верное числовое неравенство. Множество решений неравенства — совокупность всех его решений; решить неравенство — значит найти множество его решений. Два неравенства, множества решений которых совпадают, называются равносильными; решая неравенство, его заменяют равносильным ему, но более простым.
Для неравенства \(3x - 2 > 4\) число 3 — решение: \(3 \cdot 3 - 2 = 7\), неравенство \(7 > 4\) верное; число 2 — не решение: \(3 \cdot 2 - 2 = 4\), неравенство \(4 > 4\) неверное. \[\begin{aligned} 3x - 2 &> 4; \\ 3x &> 6; \qquad | : 3 \\ x &> 2. \end{aligned}\] Множество решений неравенства \(3x - 2 > 4\) — промежуток \((2; +\infty)\).
Множество решений может быть не только промежутком, но и:
- объединением промежутков: парабола \(y = x^2 - 4\) с ветвями, направленными вверх, пересекает ось \(x\) в точках \(-2\) и 2 и лежит выше оси при \(x < -2\) и при \(x > 2\), поэтому множество решений неравенства \(x^2 - 4 > 0\) — \((-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\);
- одной точкой: квадрат числа неотрицателен и равен нулю, только когда само число равно нулю, поэтому неравенству \((x - 5)^2 \leqslant 0\) удовлетворяет только \(x = 5\); множество из одной или нескольких точек записывают в фигурных скобках: \(\{5\}\);
- пустым множеством: \(x^2 + 1 \geqslant 1\) при любом \(x\), поэтому неравенство \(x^2 + 1 < 0\) решений не имеет;
- всей числовой прямой: неравенство \(x^2 + 1 > 0\) верно при любом \(x\), множество его решений — \((-\infty; +\infty)\).
Ответ: множеством решений неравенства с одной переменной называется совокупность всех его решений, то есть всех значений переменной, при подстановке которых в неравенство получается верное числовое неравенство; например, множество решений неравенства \(3x - 2 > 4\) — промежуток \((2; +\infty)\).
Линейное неравенство с одной переменной — неравенство вида \(ax + b \vee 0\), где \(a\) и \(b\) — числа, причём \(a \ne 0\), а вместо знака \(\vee\) стоит один из знаков \(>\), \(<\), \(\geqslant\), \(\leqslant\). Решая его, слагаемые с переменной переносят в одну часть, а числа — в другую, меняя знаки переносимых слагаемых на противоположные, приводят подобные слагаемые и делят обе части на коэффициент при \(x\): если он положителен, знак неравенства сохраняется, если отрицателен — меняется на противоположный. Если в неравенстве есть дроби с числовыми знаменателями, обе его части сначала умножают на наименьшее общее кратное знаменателей — положительное число.
Пример 1. \(7 - 4x \geqslant 3x - 14\); при делении обеих частей на отрицательное число \(-7\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} 7 - 4x &\geqslant 3x - 14; \\ -4x - 3x &\geqslant -14 - 7; \\ -7x &\geqslant -21; \qquad | : (-7) \\ x &\leqslant 3. \end{aligned}\] Неравенство нестрогое, поэтому число 3 входит в множество решений: при \(x = 3\) обе части неравенства равны \(-5\). Множество решений — промежуток \((-\infty; 3]\).
Пример 2. \(\frac{x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} < \frac{x}{6}\); НОК\((3; 4; 6) = 12\) — число положительное, поэтому знак неравенства сохраняется: \[\begin{aligned} \frac{x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} &< \frac{x}{6}; \qquad | \cdot 12 \\ 4(x + 1) - 3(x - 2) &< 2x; \\ 4x + 4 - 3x + 6 &< 2x; \\ x + 10 &< 2x; \\ 10 &< x. \end{aligned}\] Значит, \(x > 10\); неравенство строгое, поэтому число 10 в множество решений не входит. Множество решений — промежуток \((10; +\infty)\).
Ответ: линейное неравенство решают, перенося слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую, и деля обе части на коэффициент при \(x\) (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный); например, множество решений неравенства \(7 - 4x \geqslant 3x - 14\) — промежуток \((-\infty; 3]\), а неравенства \(\frac{x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} < \frac{x}{6}\) — промежуток \((10; +\infty)\).
Квадратное неравенство с одной переменной — неравенство вида \(ax^2 + bx + c \vee 0\), где \(a \ne 0\). Графически его решают так: находят нули функции \(y = ax^2 + bx + c\) — абсциссы точек пересечения параболы с осью \(x\), рисуют эскиз параболы (ветви направлены вверх при \(a > 0\) и вниз при \(a < 0\); на эскизе изображают только ось \(x\) с отмеченными на ней нулями), определяют, при каких \(x\) парабола лежит выше или ниже оси \(x\), и выделяют эти значения \(x\) штриховкой. При строгом неравенстве нули функции в ответ не входят, при нестрогом — входят.
Вид множества решений зависит от знака \(a\) и от дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
- при \(D > 0\) парабола пересекает ось \(x\) в двух точках \(x_1 < x_2\); при \(a > 0\) трёхчлен отрицателен на интервале \((x_1; x_2)\) и положителен при \(x < x_1\) и при \(x > x_2\), при \(a < 0\) — наоборот;
- при \(D = 0\) парабола касается оси \(x\) в точке \(x_0\), и трёхчлен имеет знак числа \(a\) при всех \(x \ne x_0\); множество решений — одна точка \(\{x_0\}\), вся прямая без точки \(x_0\), вся прямая или пустое множество;
- при \(D < 0\) парабола не пересекает ось \(x\), и трёхчлен имеет знак числа \(a\) при всех \(x\); неравенство верно либо при всех \(x\), либо ни при одном.
Пример 1. \(2x^2 - 7x + 3 \leqslant 0\). Нули функции \(y = 2x^2 - 7x + 3\): \[\begin{aligned} 2x^2 - 7x + 3 &= 0; \\ D &= (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25; \\ x_1 &= \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = 0{,}5; \\ x_2 &= \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = 3. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) равен \(2 > 0\) — ветви параболы направлены вверх.
Между нулями парабола лежит ниже оси \(x\), а в самих нулях значение функции равно нулю; неравенство нестрогое, поэтому нули \(0{,}5\) и 3 входят в множество решений. Множество решений — отрезок \([0{,}5; 3]\).
Пример 2. \(-x^2 + 4x - 4 < 0\). Нули функции \(y = -x^2 + 4x - 4\): \[\begin{aligned} -x^2 + 4x - 4 &= 0; \\ D &= 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-4) = 16 - 16 = 0; \\ x &= -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2. \end{aligned}\] Действительно, \(-x^2 + 4x - 4 = -(x^2 - 4x + 4) = -(x - 2)^2\). Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1 < 0\) — ветви параболы направлены вниз, и она касается оси \(x\) в точке \((2; 0)\).
Вся парабола, кроме точки \((2; 0)\), лежит ниже оси \(x\): трёхчлен \(-x^2 + 4x - 4\) отрицателен при всех \(x \ne 2\). При \(x = 2\) его значение равно нулю, а неравенство строгое, поэтому число 2 в множество решений не входит. Множество решений — \((-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\).
Ответ: квадратное неравенство решают графически по эскизу параболы \(y = ax^2 + bx + c\): находят нули функции, по знаку \(a\) определяют направление ветвей и выбирают значения \(x\), при которых парабола лежит выше или ниже оси \(x\), учитывая строгость неравенства; например, множество решений неравенства \(2x^2 - 7x + 3 \leqslant 0\) — отрезок \([0{,}5; 3]\), а неравенства \(-x^2 + 4x - 4 < 0\) — \((-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\).
Методом интервалов решают неравенства вида \(P(x) \vee 0\) и \(\frac{P(x)}{Q(x)} \vee 0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) — многочлены. Если правая часть неравенства не равна нулю, все слагаемые переносят в левую часть и приводят её к общему знаменателю. Умножать обе части неравенства на знаменатель, знак которого зависит от \(x\), нельзя: неизвестно, сохранится знак неравенства или изменится.
Этапы решения:
1. Найти корни многочлена \(P(x)\), а у дроби — корни числителя \(P(x)\) и знаменателя \(Q(x)\); разложить многочлены на множители.
2. Отметить найденные числа на числовой прямой; они разбивают её на промежутки, внутри каждого из которых выражение определено, не обращается в нуль и сохраняет знак.
3. Определить знак выражения на каждом промежутке, например подставив в выражение любое число из этого промежутка.
4. Выбрать промежутки, на которых знак выражения соответствует знаку неравенства: для знаков \(>\) и \(\geqslant\) — промежутки со знаком «+», для знаков \(<\) и \(\leqslant\) — со знаком «−», и выделить их штриховкой.
5. Решить вопрос о концах промежутков: нули знаменателя в ответ не входят никогда — при этих значениях дробь не определена; остальные концы — корни числителя (у многочлена — его корни) — входят в ответ, если неравенство нестрогое, и не входят, если строгое.
6. Записать ответ: у конца, который входит в ответ, ставят квадратную скобку, у конца, который не входит, — круглую; промежутки объединяют знаком \(\cup\).
Знаки на третьем этапе расставляют проще: каждый множитель записывают в виде \((x - x_0)\) в некоторой степени, а числовой множитель выносят вперёд (например, множитель \(3 - x\) записывают как \(-(x - 3)\)). Правее всех корней каждый множитель \((x - x_0)\) положителен, поэтому там знак выражения совпадает со знаком числового множителя. Двигаясь справа налево, при переходе через корень \(x_0\) знак меняют, если множитель \((x - x_0)\) стоит в нечётной степени, и сохраняют, если в чётной. Для дроби правило то же: множители числителя и знаменателя влияют на знак частного так же, как на знак произведения. Множитель без корней с положительным старшим коэффициентом, например \(x^2 + 1\), положителен при всех \(x\) и на знак выражения не влияет. Для проверки удобна таблица знаков каждого множителя на каждом промежутке.
Ответ: чтобы решить неравенство \(P(x) \vee 0\) или \(\frac{P(x)}{Q(x)} \vee 0\) методом интервалов, раскладывают многочлены на множители и находят корни числителя и знаменателя, отмечают эти числа на числовой прямой, определяют знак выражения на каждом из получившихся промежутков, выбирают промежутки нужного знака, решают вопрос о концах (нули знаменателя в ответ не входят никогда, остальные концы входят только при нестрогом неравенстве) и записывают ответ.
Пример 1. \((x + 1)(4 - x)(2x - 1) \leqslant 0\). Левая часть обращается в нуль при \(x = -1\), \(x = 4\) и \(x = 0{,}5\).
\(4 - x = -(x - 4)\) и \(2x - 1 = 2(x - 0{,}5)\), поэтому \[(x + 1)(4 - x)(2x - 1) = -2(x + 1)(x - 0{,}5)(x - 4).\] При \(x > 4\) множители \(x + 1\), \(x - 0{,}5\) и \(x - 4\) положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа \(-2\) — это «−». Все множители стоят в первой степени — при переходе через каждый корень знак меняется: на \((0{,}5; 4)\) — «+», на \((-1; 0{,}5)\) — «−», на \((-\infty; -1)\) — «+». Проверка: при \(x = 0\) получаем \(1 \cdot 4 \cdot (-1) = -4 < 0\).
Неравенству \(\leqslant 0\) отвечают промежутки со знаком «−»; неравенство нестрогое, поэтому корни \(-1\); \(0{,}5\); 4 входят в множество решений.
Множество решений — \([-1; 0{,}5] \cup [4; +\infty)\).
Пример 2. \((x + 2)^2(x - 1)(x - 4) \leqslant 0\). Левая часть обращается в нуль при \(x = -2\), \(x = 1\) и \(x = 4\). При \(x > 4\) все множители положительны, поэтому левая часть положительна. Множители \(x - 4\) и \(x - 1\) стоят в первой степени — при переходе через 4 и через 1 знак меняется: на \((1; 4)\) — «−», на \((-2; 1)\) — «+». Множитель \(x + 2\) стоит во второй степени — при переходе через \(-2\) знак сохраняется: на \((-\infty; -2)\) — «+». Проверка: при \(x = -3\) получаем \((-1)^2 \cdot (-4) \cdot (-7) = 28 > 0\).
Знак «−» левая часть имеет только на интервале \((1; 4)\). Неравенство нестрогое, поэтому в множество решений входят и все корни левой части: 1 и 4 — концы этого интервала, а \(-2\) — отдельная точка, в которой левая часть равна нулю, хотя по обе стороны от неё она положительна.
Множество решений — \(\{-2\} \cup [1; 4]\). Для строгого неравенства \((x + 2)^2(x - 1)(x - 4) < 0\) множеством решений был бы только интервал \((1; 4)\).
Ответ: например, множество решений неравенства \((x + 1)(4 - x)(2x - 1) \leqslant 0\) — \([-1; 0{,}5] \cup [4; +\infty)\), а неравенства \((x + 2)^2(x - 1)(x - 4) \leqslant 0\) — \(\{-2\} \cup [1; 4]\).
Пример 1. \(\frac{x^2 - x - 6}{x - 1} \geqslant 0\). Корни числителя: \[\begin{aligned} x^2 - x - 6 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25; \\ x_1 &= \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3. \end{aligned}\] Значит, \(x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)\), и неравенство принимает вид \(\frac{(x + 2)(x - 3)}{x - 1} \geqslant 0\). Знаменатель обращается в нуль при \(x = 1\) — при этом значении дробь не определена.
При \(x > 3\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. Все множители стоят в первой степени — при переходе через каждую из точек \(-2\); 1; 3 знак дроби меняется: на \((1; 3)\) — «−», на \((-2; 1)\) — «+», на \((-\infty; -2)\) — «−». Проверка: при \(x = 0\) дробь равна \(\frac{-6}{-1} = 6 > 0\).
Неравенству \(\geqslant 0\) отвечают промежутки со знаком «+»; неравенство нестрогое, поэтому корни числителя \(-2\) и 3 входят в множество решений, а нуль знаменателя 1 не входит.
Множество решений — \([-2; 1) \cup [3; +\infty)\).
Пример 2. \(\frac{x + 5}{x - 1} \leqslant 2\). Умножать обе части на \(x - 1\) нельзя: знак этого выражения зависит от \(x\). \[\begin{aligned} \frac{x + 5}{x - 1} - 2 &\leqslant 0; \\ \frac{x + 5 - 2(x - 1)}{x - 1} &\leqslant 0; \\ \frac{7 - x}{x - 1} &\leqslant 0. \end{aligned}\] Числитель \(7 - x = -(x - 7)\); при умножении обеих частей на \(-1\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} -\frac{x - 7}{x - 1} &\leqslant 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{x - 7}{x - 1} &\geqslant 0. \end{aligned}\] Числитель обращается в нуль при \(x = 7\), знаменатель — при \(x = 1\). При \(x > 7\) числитель и знаменатель положительны, и дробь положительна. Оба множителя стоят в первой степени — при переходе через 7 и через 1 знак дроби меняется: на \((1; 7)\) — «−», на \((-\infty; 1)\) — «+».
Неравенству \(\geqslant 0\) отвечают промежутки со знаком «+». Число 7 входит в множество решений: неравенство нестрогое, и при \(x = 7\) исходная дробь равна \(\frac{12}{6} = 2\). Число 1 не входит: при нём знаменатель обращается в нуль.
Множество решений — \((-\infty; 1) \cup [7; +\infty)\).
Ответ: например, множество решений неравенства \(\frac{x^2 - x - 6}{x - 1} \geqslant 0\) — \([-2; 1) \cup [3; +\infty)\), а неравенства \(\frac{x + 5}{x - 1} \leqslant 2\) — \((-\infty; 1) \cup [7; +\infty)\); нуль знаменателя 1 в обоих примерах в ответ не входит, хотя неравенства нестрогие.
Каждое свойство записано для знака «<»; для знаков «>», «\(\leqslant\)» и «\(\geqslant\)» оно формулируется так же.
- Два неравенства одного знака можно почленно складывать: если \(a < b\) и \(c < d\), то \(a + c < b + d\). Например, из \(3 < 7\) и \(-5 < -1\) следует \(3 + (-5) < 7 + (-1)\), то есть \(-2 < 6\). Вычитать неравенства одного знака почленно нельзя: \(2 < 3\) и \(1 < 5\), но \(2 - 1 > 3 - 5\).
- К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число: если \(a < b\), то \(a + x < b + x\) при любом числе \(x\). Например, из \(-4 < 1\) следует \(-4 + 6 < 1 + 6\), то есть \(2 < 7\). Поэтому любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный.
- Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, знак неравенства при этом сохраняется: если \(a < b\) и \(x > 0\), то \(ax < bx\). Например, из \(-6 < 4\) следует \(-6 \cdot 0{,}5 < 4 \cdot 0{,}5\), то есть \(-3 < 2\).
- Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный: если \(a < b\) и \(y < 0\), то \(ay > by\). Например, из \(2 < 5\) следует \(2 \cdot (-3) > 5 \cdot (-3)\), то есть \(-6 > -15\).
- Неравенства одного знака, все части которых положительны, можно почленно перемножать: если \(0 < a < b\) и \(0 < c < d\), то \(ac < bd\). Например, из \(2 < 3\) и \(4 < 5\) следует \(2 \cdot 4 < 3 \cdot 5\), то есть \(8 < 15\). Без условия положительности свойство неверно: \(-3 < -2\) и \(-4 < 1\), но \((-3) \cdot (-4) = 12\), \((-2) \cdot 1 = -2\) и \(12 > -2\).
- Если обе части неравенства положительны, то при переходе к обратным числам знак неравенства меняется на противоположный: если \(0 < a < b\), то \(\frac{1}{a} > \frac{1}{b}\). Например, из \(2 < 5\) следует \(\frac{1}{2} > \frac{1}{5}\). Для чисел разных знаков это неверно: \(-1 < 2\) и \(\frac{1}{-1} < \frac{1}{2}\).
- Неравенство, обе части которого положительны, можно возвести в степень с натуральным показателем, сохранив знак неравенства: если \(0 < a < b\) и \(n\) — натуральное число, то \(a^n < b^n\). Например, из \(2 < 3\) следует \(2^4 < 3^4\), то есть \(16 < 81\). В нечётную степень можно возводить неравенство с любыми частями: из \(-3 < 2\) следует \((-3)^3 < 2^3\), то есть \(-27 < 8\). В чётную степень так поступать нельзя: \(-3 < 2\), но \((-3)^2 > 2^2\), так как \(9 > 4\).
- Из обеих частей неравенства, значения которых положительны, можно извлечь квадратный корень, сохранив знак неравенства: если \(0 < a < b\), то \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\). Например, из \(9 < 11\) следует \(\sqrt{9} < \sqrt{11}\), то есть \(3 < \sqrt{11}\).
Ответ: неравенства одного знака можно почленно складывать, а если все их части положительны — и почленно перемножать; к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число; при умножении или делении обеих частей на одно и то же положительное число знак неравенства сохраняется, а на отрицательное — меняется на противоположный; если обе части неравенства положительны, то при переходе к обратным числам знак неравенства меняется на противоположный, а при возведении в натуральную степень и извлечении квадратного корня сохраняется; в нечётную степень можно возводить неравенство с любыми частями.
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого в неравенство получается верное числовое неравенство. Множеством решений неравенства называется совокупность всех его решений. Решить неравенство — значит найти все его решения, то есть найти множество его решений. Два неравенства, множества решений которых совпадают, называются равносильными; решая неравенство, его заменяют равносильным ему, но более простым.
Например, для неравенства \(3x - 2 > 4\) число 3 — решение: \(3 \cdot 3 - 2 = 7\), и неравенство \(7 > 4\) верное. Число 2 решением не является: \(3 \cdot 2 - 2 = 4\), а неравенство \(4 > 4\) неверное. Чтобы найти все решения, перенесём \(-2\) в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 3: \[\begin{aligned} 3x - 2 &> 4; \\ 3x &> 6; \qquad | : 3 \\ x &> 2. \end{aligned}\] Множество решений неравенства \(3x - 2 > 4\) — промежуток \((2; +\infty)\).
Множество решений может быть не только промежутком, но и:
- объединением промежутков: парабола \(y = x^2 - 4\) с ветвями, направленными вверх, пересекает ось \(x\) в точках \(-2\) и 2 и лежит выше оси при \(x < -2\) и при \(x > 2\), поэтому множество решений неравенства \(x^2 - 4 > 0\) — \((-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\);
- одной точкой: квадрат числа неотрицателен и равен нулю, только когда само число равно нулю, поэтому неравенству \((x - 5)^2 \leqslant 0\) удовлетворяет только \(x = 5\); множество, состоящее из одной или нескольких точек, записывают в фигурных скобках: \(\{5\}\);
- пустым множеством: \(x^2 + 1 \geqslant 1\) при любом \(x\), поэтому неравенство \(x^2 + 1 < 0\) решений не имеет;
- всей числовой прямой: по той же причине неравенство \(x^2 + 1 > 0\) верно при любом \(x\), и множество его решений — \((-\infty; +\infty)\).
Ответ: множеством решений неравенства с одной переменной называется совокупность всех его решений, то есть всех значений переменной, при подстановке которых в неравенство получается верное числовое неравенство; например, множество решений неравенства \(3x - 2 > 4\) — промежуток \((2; +\infty)\).
Линейным неравенством с одной переменной называется неравенство вида \(ax + b \vee 0\), где \(a\) и \(b\) — числа, причём \(a \ne 0\), а вместо знака \(\vee\) стоит один из знаков \(>\), \(<\), \(\geqslant\), \(\leqslant\). К такому виду сводятся многие неравенства. Решая их, переносят слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую, меняя знаки переносимых слагаемых на противоположные, приводят подобные слагаемые и делят обе части на коэффициент при \(x\): если он положителен, знак неравенства сохраняется, если отрицателен — меняется на противоположный. Если в неравенстве есть дроби с числовыми знаменателями, обе его части сначала умножают на наименьшее общее кратное знаменателей — положительное число.
Пример 1. Решим неравенство \(7 - 4x \geqslant 3x - 14\). Перенесём \(3x\) в левую часть, а 7 — в правую, изменив их знаки, затем разделим обе части на отрицательное число \(-7\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} 7 - 4x &\geqslant 3x - 14; \\ -4x - 3x &\geqslant -14 - 7; \\ -7x &\geqslant -21; \qquad | : (-7) \\ x &\leqslant 3. \end{aligned}\] Неравенство нестрогое, поэтому число 3 входит в множество решений: при \(x = 3\) обе части неравенства равны \(-5\). Множество решений — промежуток \((-\infty; 3]\).
Пример 2. Решим неравенство \(\frac{x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} < \frac{x}{6}\). Умножим обе его части на НОК\((3; 4; 6) = 12\); число 12 положительно, поэтому знак неравенства сохраняется: \[\begin{aligned} \frac{x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} &< \frac{x}{6}; \qquad | \cdot 12 \\ 4(x + 1) - 3(x - 2) &< 2x; \\ 4x + 4 - 3x + 6 &< 2x; \\ x + 10 &< 2x; \\ 10 &< x. \end{aligned}\] Получили \(10 < x\), или \(x > 10\). Неравенство строгое, поэтому число 10 в множество решений не входит. Множество решений — промежуток \((10; +\infty)\).
Ответ: линейное неравенство решают, перенося слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую, и деля обе части на коэффициент при \(x\) (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный); например, множество решений неравенства \(7 - 4x \geqslant 3x - 14\) — промежуток \((-\infty; 3]\), а неравенства \(\frac{x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} < \frac{x}{6}\) — промежуток \((10; +\infty)\).
Квадратным неравенством с одной переменной называется неравенство вида \(ax^2 + bx + c \vee 0\), где \(a \ne 0\). Чтобы решить его графически, находят нули функции \(y = ax^2 + bx + c\) — абсциссы точек пересечения параболы с осью \(x\), рисуют эскиз параболы (ветви направлены вверх при \(a > 0\) и вниз при \(a < 0\); на эскизе изображают только ось \(x\) с отмеченными на ней нулями), определяют, при каких \(x\) парабола лежит выше или ниже оси \(x\), и выделяют эти значения \(x\) штриховкой. Записывая ответ, решают вопрос о концах промежутков: при строгом неравенстве нули функции в ответ не входят, при нестрогом — входят.
Вид множества решений зависит от знака \(a\) и от дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
- при \(D > 0\) парабола пересекает ось \(x\) в двух точках \(x_1 < x_2\); при \(a > 0\) трёхчлен отрицателен на интервале \((x_1; x_2)\) и положителен при \(x < x_1\) и при \(x > x_2\), при \(a < 0\) — наоборот;
- при \(D = 0\) парабола касается оси \(x\) в точке \(x_0\), и трёхчлен имеет знак числа \(a\) при всех \(x \ne x_0\); множество решений — одна точка \(\{x_0\}\), вся прямая без точки \(x_0\), вся прямая или пустое множество;
- при \(D < 0\) парабола не пересекает ось \(x\), и трёхчлен имеет знак числа \(a\) при всех \(x\); неравенство верно либо при всех \(x\), либо ни при одном.
Пример 1. Решим неравенство \(2x^2 - 7x + 3 \leqslant 0\). Найдём нули функции \(y = 2x^2 - 7x + 3\): \[\begin{aligned} 2x^2 - 7x + 3 &= 0; \\ D &= (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25; \\ x_1 &= \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = 0{,}5; \\ x_2 &= \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = 3. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) равен \(2 > 0\), поэтому ветви параболы направлены вверх. Нарисуем эскиз параболы и выделим штриховкой множество решений:
Значения функции неположительны при \(0{,}5 \leqslant x \leqslant 3\): между нулями парабола лежит ниже оси \(x\), а в самих нулях значение функции равно нулю. Неравенство нестрогое, поэтому нули \(0{,}5\) и 3 входят в множество решений. Множество решений — отрезок \([0{,}5; 3]\).
Пример 2. Решим неравенство \(-x^2 + 4x - 4 < 0\). Найдём нули функции \(y = -x^2 + 4x - 4\): \[\begin{aligned} -x^2 + 4x - 4 &= 0; \\ D &= 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-4) = 16 - 16 = 0; \\ x &= -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2. \end{aligned}\] Действительно, \(-x^2 + 4x - 4 = -(x^2 - 4x + 4) = -(x - 2)^2\). Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1 < 0\), поэтому ветви параболы направлены вниз, и она касается оси \(x\) в точке \((2; 0)\). Нарисуем эскиз параболы и выделим штриховкой множество решений:
Вся парабола, кроме точки \((2; 0)\), лежит ниже оси \(x\), то есть трёхчлен \(-x^2 + 4x - 4\) отрицателен при всех \(x \ne 2\). При \(x = 2\) его значение равно нулю, а неравенство строгое, поэтому число 2 в множество решений не входит. Множество решений — \((-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\).
Ответ: квадратное неравенство решают графически по эскизу параболы \(y = ax^2 + bx + c\): находят нули функции, по знаку \(a\) определяют направление ветвей и выбирают значения \(x\), при которых парабола лежит выше или ниже оси \(x\), учитывая строгость неравенства; например, множество решений неравенства \(2x^2 - 7x + 3 \leqslant 0\) — отрезок \([0{,}5; 3]\), а неравенства \(-x^2 + 4x - 4 < 0\) — \((-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\).
Методом интервалов решают неравенства вида \(P(x) \vee 0\) и \(\frac{P(x)}{Q(x)} \vee 0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) — многочлены. Если правая часть неравенства не равна нулю, все слагаемые переносят в левую часть и приводят её к общему знаменателю. Умножать обе части неравенства на знаменатель, знак которого зависит от \(x\), нельзя: неизвестно, сохранится знак неравенства или изменится.
Этапы решения:
1. Найти корни многочлена \(P(x)\), а у дроби — корни числителя \(P(x)\) и знаменателя \(Q(x)\); разложить многочлены на множители.
2. Отметить найденные числа на числовой прямой. Они разбивают её на промежутки, внутри каждого из которых выражение определено, не обращается в нуль и сохраняет знак.
3. Определить знак выражения на каждом промежутке, например подставив в выражение любое число из этого промежутка.
4. Выбрать промежутки, на которых знак выражения соответствует знаку неравенства: для знаков \(>\) и \(\geqslant\) — промежутки со знаком «+», для знаков \(<\) и \(\leqslant\) — со знаком «−», и выделить их штриховкой.
5. Решить вопрос о концах промежутков. Нули знаменателя в ответ не входят никогда: при этих значениях дробь не определена. Остальные концы — корни числителя (у многочлена — его корни) — входят в ответ, если неравенство нестрогое, и не входят, если строгое.
6. Записать ответ: у конца, который входит в ответ, ставят квадратную скобку, у конца, который не входит, — круглую; промежутки объединяют знаком \(\cup\).
Расстановку знаков на третьем этапе упрощают так. Каждый множитель записывают в виде \((x - x_0)\) в некоторой степени, а числовой множитель выносят вперёд; например, множитель \(3 - x\) записывают как \(-(x - 3)\). Правее всех корней каждый множитель \((x - x_0)\) положителен, поэтому там знак выражения совпадает со знаком числового множителя. Двигаясь справа налево, при переходе через корень \(x_0\) знак меняют, если множитель \((x - x_0)\) стоит в нечётной степени, и сохраняют, если в чётной. Для дроби правило то же: множители числителя и знаменателя влияют на знак частного так же, как на знак произведения. Множитель без корней с положительным старшим коэффициентом, например \(x^2 + 1\), положителен при всех \(x\) и на знак выражения не влияет. Для проверки удобна таблица знаков каждого множителя на каждом промежутке.
Ответ: чтобы решить неравенство \(P(x) \vee 0\) или \(\frac{P(x)}{Q(x)} \vee 0\) методом интервалов, раскладывают многочлены на множители и находят корни числителя и знаменателя, отмечают эти числа на числовой прямой, определяют знак выражения на каждом из получившихся промежутков, выбирают промежутки нужного знака, решают вопрос о концах (нули знаменателя в ответ не входят никогда, остальные концы входят только при нестрогом неравенстве) и записывают ответ.
Пример 1. Решим неравенство \((x + 1)(4 - x)(2x - 1) \leqslant 0\). Левая часть обращается в нуль при \(x = -1\), \(x = 4\) и \(x = 0{,}5\). Запишем множители в виде \((x - x_0)\): \(4 - x = -(x - 4)\) и \(2x - 1 = 2(x - 0{,}5)\), поэтому \[(x + 1)(4 - x)(2x - 1) = -2(x + 1)(x - 0{,}5)(x - 4).\] Числа \(-1\); \(0{,}5\); 4 разбивают числовую прямую на четыре промежутка. При \(x > 4\) множители \(x + 1\), \(x - 0{,}5\) и \(x - 4\) положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа \(-2\) — это «−». Все множители стоят в первой степени, поэтому при переходе через каждый корень знак меняется: на \((0{,}5; 4)\) — «+», на \((-1; 0{,}5)\) — «−», на \((-\infty; -1)\) — «+». Проверка подстановкой: при \(x = 0\) получаем \(1 \cdot 4 \cdot (-1) = -4 < 0\) — знак «−», как и найдено.
Неравенству \(\leqslant 0\) отвечают промежутки со знаком «−». Неравенство нестрогое, поэтому корни \(-1\); \(0{,}5\); 4 входят в множество решений.
Множество решений — \([-1; 0{,}5] \cup [4; +\infty)\).
Пример 2. Решим неравенство \((x + 2)^2(x - 1)(x - 4) \leqslant 0\). Левая часть обращается в нуль при \(x = -2\), \(x = 1\) и \(x = 4\). При \(x > 4\) все множители положительны, поэтому левая часть положительна. Множители \(x - 4\) и \(x - 1\) стоят в первой степени, поэтому при переходе через 4 и через 1 знак меняется: на \((1; 4)\) — «−», на \((-2; 1)\) — «+». Множитель \(x + 2\) стоит во второй степени, поэтому при переходе через \(-2\) знак сохраняется: на \((-\infty; -2)\) — «+». Проверка подстановкой: при \(x = -3\) получаем \((-1)^2 \cdot (-4) \cdot (-7) = 28 > 0\).
Знак «−» левая часть имеет только на интервале \((1; 4)\). Неравенство нестрогое, поэтому в множество решений входят и все корни левой части: 1 и 4 — концы этого интервала, а \(-2\) — отдельная точка, в которой левая часть равна нулю, хотя по обе стороны от неё она положительна.
Множество решений — \(\{-2\} \cup [1; 4]\). Для строгого неравенства \((x + 2)^2(x - 1)(x - 4) < 0\) множеством решений был бы только интервал \((1; 4)\).
Ответ: например, множество решений неравенства \((x + 1)(4 - x)(2x - 1) \leqslant 0\) — \([-1; 0{,}5] \cup [4; +\infty)\), а неравенства \((x + 2)^2(x - 1)(x - 4) \leqslant 0\) — \(\{-2\} \cup [1; 4]\).
Пример 1. Решим неравенство \(\frac{x^2 - x - 6}{x - 1} \geqslant 0\). Найдём корни числителя: \[\begin{aligned} x^2 - x - 6 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25; \\ x_1 &= \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3. \end{aligned}\] Значит, \(x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)\), и неравенство принимает вид \(\frac{(x + 2)(x - 3)}{x - 1} \geqslant 0\). Знаменатель обращается в нуль при \(x = 1\) — при этом значении дробь не определена.
Числа \(-2\); 1; 3 разбивают числовую прямую на четыре промежутка. При \(x > 3\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. Все множители стоят в первой степени, поэтому при переходе через каждую из точек знак дроби меняется: на \((1; 3)\) — «−», на \((-2; 1)\) — «+», на \((-\infty; -2)\) — «−». Проверка подстановкой: при \(x = 0\) дробь равна \(\frac{-6}{-1} = 6 > 0\).
Неравенству \(\geqslant 0\) отвечают промежутки со знаком «+». Неравенство нестрогое, поэтому корни числителя \(-2\) и 3 входят в множество решений, а нуль знаменателя 1 не входит.
Множество решений — \([-2; 1) \cup [3; +\infty)\).
Пример 2. Решим неравенство \(\frac{x + 5}{x - 1} \leqslant 2\). Умножать обе его части на \(x - 1\) нельзя: знак этого выражения зависит от \(x\). Перенесём 2 в левую часть и приведём разность к общему знаменателю: \[\begin{aligned} \frac{x + 5}{x - 1} - 2 &\leqslant 0; \\ \frac{x + 5 - 2(x - 1)}{x - 1} &\leqslant 0; \\ \frac{7 - x}{x - 1} &\leqslant 0. \end{aligned}\] Запишем числитель в виде \(-(x - 7)\) и умножим обе части неравенства на \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} -\frac{x - 7}{x - 1} &\leqslant 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{x - 7}{x - 1} &\geqslant 0. \end{aligned}\] Числитель обращается в нуль при \(x = 7\), знаменатель — при \(x = 1\). При \(x > 7\) числитель и знаменатель положительны, и дробь положительна. Оба множителя стоят в первой степени, поэтому при переходе через 7 и через 1 знак дроби меняется: на \((1; 7)\) — «−», на \((-\infty; 1)\) — «+».
Неравенству \(\geqslant 0\) отвечают промежутки со знаком «+». Число 7 входит в множество решений: неравенство нестрогое, и при \(x = 7\) исходная дробь равна \(\frac{12}{6} = 2\). Число 1 не входит: при нём знаменатель обращается в нуль.
Множество решений — \((-\infty; 1) \cup [7; +\infty)\).
Ответ: например, множество решений неравенства \(\frac{x^2 - x - 6}{x - 1} \geqslant 0\) — \([-2; 1) \cup [3; +\infty)\), а неравенства \(\frac{x + 5}{x - 1} \leqslant 2\) — \((-\infty; 1) \cup [7; +\infty)\); нуль знаменателя 1 в обоих примерах в ответ не входит, хотя неравенства нестрогие.
