Страница 64 номер 249, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\frac{ax^2 - 4x + 2}{-8x + 4} = 0\) не имеет корней?
\[\begin{cases} ax^2 - 4x + 2 = 0, \\ -8x + 4 \ne 0. \end{cases}\] Знаменатель \(-8x + 4\) обращается в нуль при \(x = 0{,}5\), поэтому исходное уравнение не имеет корней, когда уравнение \(ax^2 - 4x + 2 = 0\) не имеет корней, отличных от числа \(0{,}5\).
При \(a = 0\) получаем: \[\begin{aligned} -4x + 2 &= 0; \\ -4x &= -2; \qquad | : (-4) \\ x &= 0{,}5. \end{aligned}\] Число \(0{,}5\) обращает знаменатель в нуль и корнем не является, значит, при \(a = 0\) уравнение не имеет корней.
Пусть \(a \ne 0\). Тогда \(a \cdot 0{,}5^2 - 4 \cdot 0{,}5 + 2 = 0{,}25a \ne 0\) — число \(0{,}5\) не является корнем уравнения \(ax^2 - 4x + 2 = 0\), поэтому каждый его корень — корень и исходного уравнения. Значит, исходное уравнение не имеет корней, когда \(D < 0\); при делении на отрицательное число \(-8\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} D &= (-4)^2 - 4 \cdot a \cdot 2 = 16 - 8a; \\ 16 - 8a &< 0; \\ -8a &< -16; \qquad | : (-8) \\ a &> 2. \end{aligned}\] При \(a = 2\) дискриминант равен нулю: \(2x^2 - 4x + 2 = 0\), то есть \(2(x - 1)^2 = 0\), откуда \(x = 1\).
Знаменатель при \(x = 1\) равен \(-8 \cdot 1 + 4 = -4 \ne 0\) — исходное уравнение имеет корень 1, значение \(a = 2\) не подходит.
Ответ: при \(a = 0\) и при \(a > 2\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\frac{ax^2 - 4x + 2}{-8x + 4} = 0\) не имеет корней?
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: \[\begin{cases} ax^2 - 4x + 2 = 0, \\ -8x + 4 \ne 0. \end{cases}\] Знаменатель \(-8x + 4\) обращается в нуль при \(x = 0{,}5\). Поэтому уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда уравнение \(ax^2 - 4x + 2 = 0\) не имеет корней, отличных от числа \(0{,}5\).
Рассмотрим случай, когда \(a = 0\). Получаем: \[\begin{aligned} -4x + 2 &= 0; \\ -4x &= -2; \qquad | : (-4) \\ x &= 0{,}5. \end{aligned}\] При \(x = 0{,}5\) знаменатель \(-8x + 4\) обращается в нуль, поэтому число \(0{,}5\) корнем уравнения не является. Значит, при \(a = 0\) уравнение не имеет корней.
Пусть теперь \(a \ne 0\). Число \(0{,}5\) не является корнем уравнения \(ax^2 - 4x + 2 = 0\), так как \(a \cdot 0{,}5^2 - 4 \cdot 0{,}5 + 2 = 0{,}25a \ne 0\). Поэтому каждый корень квадратного уравнения \(ax^2 - 4x + 2 = 0\) является корнем и исходного уравнения. Значит, исходное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда квадратное уравнение не имеет корней, то есть его дискриминант отрицателен. Решим неравенство \(D < 0\); при делении обеих частей на отрицательное число \(-8\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} D &= (-4)^2 - 4 \cdot a \cdot 2 = 16 - 8a; \\ 16 - 8a &< 0; \\ -8a &< -16; \qquad | : (-8) \\ a &> 2. \end{aligned}\]
При \(a = 2\) дискриминант равен нулю: уравнение \(2x^2 - 4x + 2 = 0\), то есть \(2(x - 1)^2 = 0\), имеет корень \(x = 1\). Знаменатель при \(x = 1\) равен \(-8 \cdot 1 + 4 = -4 \ne 0\), поэтому исходное уравнение имеет корень 1 — значение \(a = 2\) не подходит.
Ответ: при \(a = 0\) и при \(a > 2\).
