Страница 63 номер 247, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\frac{(x + a)(x - 1)}{x - 9} = 0\) имеет два различных корня?
\[\begin{cases} (x + a)(x - 1) = 0, \\ x - 9 \ne 0. \end{cases}\] Числитель равен нулю при \(x = -a\) или при \(x = 1\).
При \(x = 1\) знаменатель равен \(1 - 9 = -8 \ne 0\) — число 1 является корнем уравнения при любом \(a\).
Число \(-a\) даёт второй корень, если оно отличается от 1 и не обращает знаменатель в нуль: \(-a \ne 1\) и \(-a \ne 9\), то есть \(a \ne -1\) и \(a \ne -9\).
При \(a = -1\) уравнение имеет вид \(\frac{(x - 1)^2}{x - 9} = 0\) — числитель равен нулю только при \(x = 1\), корень один.
При \(a = -9\) уравнение имеет вид \(\frac{(x - 9)(x - 1)}{x - 9} = 0\) — число 9 обращает знаменатель в нуль, корень один: число 1.
При остальных значениях \(a\) уравнение имеет два различных корня: \(-a\) и 1.
Ответ: при любом \(a\), кроме \(-9\) и \(-1\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\frac{(x + a)(x - 1)}{x - 9} = 0\) имеет два различных корня?
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: \[\begin{cases} (x + a)(x - 1) = 0, \\ x - 9 \ne 0. \end{cases}\] Произведение \((x + a)(x - 1)\) равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть при \(x = -a\) или при \(x = 1\). При \(x = 1\) знаменатель равен \(1 - 9 = -8 \ne 0\), поэтому число 1 — корень уравнения при любом значении \(a\).
Число \(-a\) даёт второй корень, если оно отличается от 1 и не обращает знаменатель в нуль, то есть если \(-a \ne 1\) и \(-a \ne 9\). Это выполняется при \(a \ne -1\) и \(a \ne -9\).
При \(a = -1\) уравнение принимает вид \(\frac{(x - 1)^2}{x - 9} = 0\): числитель обращается в нуль только при \(x = 1\), и корень один.
При \(a = -9\) уравнение принимает вид \(\frac{(x - 9)(x - 1)}{x - 9} = 0\). При \(x = 9\) знаменатель обращается в нуль, поэтому число 9 корнем не является, и корень один — число 1.
При остальных значениях \(a\) уравнение имеет два различных корня: \(-a\) и 1.
Ответ: при любом \(a\), кроме \(-9\) и \(-1\).
