Страница 63 номер 245, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) неравенство \(-x^2 + 10x + 5a \ge 0\) не выполняется ни при каких значениях \(x\)?
Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\) и от \(a\) не зависит: при любом \(a\) неравенство квадратное, ветви параболы \(f(x) = -x^2 + 10x + 5a\) направлены вниз.
Неравенство не выполняется ни при каких \(x\), когда \(f(x) < 0\) при всех \(x\), то есть вся парабола лежит ниже оси абсцисс и не имеет с ней общих точек. При \(D = 0\) в точке касания значение функции равно 0 — нестрогое неравенство выполняется; при \(D > 0\) между точками пересечения с осью абсцисс значения функции положительны. Значит, нужно \(D < 0\): \[\begin{aligned} D &= 10^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 5a = 100 + 20a; \\ 100 + 20a &< 0; \\ 20a &< -100; \qquad | : 20 \\ a &< -5. \end{aligned}\] При \(a = -5\) получаем \(-x^2 + 10x - 25 \geqslant 0\), то есть \(-(x - 5)^2 \geqslant 0\); при \(x = 5\) неравенство выполняется: \(0 \geqslant 0\) — решение есть, значение \(a = -5\) не подходит.
Ответ: при \(a < -5\).
При каких значениях параметра \(a\) неравенство \(-x^2 + 10x + 5a \ge 0\) не выполняется ни при каких значениях \(x\)?
Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\) и от \(a\) не зависит, поэтому при каждом значении \(a\) неравенство квадратное, и графиком функции \(f(x) = -x^2 + 10x + 5a\) является парабола, ветви которой направлены вниз.
Неравенство \(f(x) \geqslant 0\) не выполняется ни при каких значениях \(x\) тогда и только тогда, когда \(f(x) < 0\) при всех значениях \(x\), то есть вся парабола лежит ниже оси абсцисс. Парабола с ветвями, направленными вниз, лежит ниже оси абсцисс тогда и только тогда, когда она не имеет общих точек с осью абсцисс, то есть \(D < 0\). При \(D = 0\) парабола касается оси абсцисс, и в точке касания значение функции равно 0 — нестрогое неравенство в этой точке выполняется; при \(D > 0\) между точками пересечения с осью абсцисс значения функции положительны. Значит, нужно, чтобы дискриминант был отрицателен: \[\begin{aligned} D &= 10^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 5a = 100 + 20a; \\ 100 + 20a &< 0; \\ 20a &< -100; \qquad | : 20 \\ a &< -5. \end{aligned}\]
При \(a = -5\) неравенство принимает вид \(-x^2 + 10x - 25 \geqslant 0\), то есть \(-(x - 5)^2 \geqslant 0\). При \(x = 5\) оно выполняется: \(0 \geqslant 0\). Решение есть, поэтому значение \(a = -5\) не подходит.
Ответ: при \(a < -5\).
