Страница 63 номер 244, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) неравенство \(2ax^2 + 7 > 0\) выполняется при всех значениях \(x\)?
При \(a = 0\) неравенство имеет вид \(7 > 0\) — верное числовое неравенство, выполняется при всех \(x\).
При \(a \ne 0\) неравенство квадратное и выполняется при всех \(x\), когда парабола \(f(x) = 2ax^2 + 7\) целиком лежит выше оси абсцисс: ветви направлены вверх (\(2a > 0\)) и \(D < 0\). При \(2a < 0\) ветви направлены вниз — целиком выше оси абсцисс парабола лежать не может.
При делении на отрицательное число \(-56\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} D &= 0^2 - 4 \cdot 2a \cdot 7 = -56a; \\ -56a &< 0; \qquad | : (-56) \\ a &> 0. \end{aligned}\] Условие \(2a > 0\), при котором ветви направлены вверх, при \(a > 0\) тоже выполняется, значит, при \(a > 0\) неравенство выполняется при всех \(x\).
Вместе со случаем \(a = 0\) получаем: \(a \geqslant 0\).
Ответ: при \(a \geqslant 0\).
При каких значениях параметра \(a\) неравенство \(2ax^2 + 7 > 0\) выполняется при всех значениях \(x\)?
Рассмотрим случай, когда \(a = 0\). Неравенство принимает вид \(7 > 0\). Это верное числовое неравенство, и переменной \(x\) в нём нет, поэтому при \(a = 0\) неравенство выполняется при всех значениях \(x\).
Пусть теперь \(a \ne 0\). Тогда неравенство квадратное, и графиком функции \(f(x) = 2ax^2 + 7\) является парабола. Неравенство \(f(x) > 0\) выполняется при всех значениях \(x\) тогда и только тогда, когда вся парабола лежит выше оси абсцисс, то есть её ветви направлены вверх (\(2a > 0\)) и она не имеет общих точек с осью абсцисс — дискриминант квадратного трёхчлена \(2ax^2 + 7\) отрицателен (\(D < 0\)). При \(2a < 0\) ветви параболы направлены вниз, и целиком выше оси абсцисс она лежать не может.
Вычислим дискриминант и решим неравенство \(D < 0\). При делении обеих частей на отрицательное число \(-56\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} D &= 0^2 - 4 \cdot 2a \cdot 7 = -56a; \\ -56a &< 0; \qquad | : (-56) \\ a &> 0. \end{aligned}\] Условие \(2a > 0\), при котором ветви параболы направлены вверх, тоже выполняется при \(a > 0\). Значит, при \(a > 0\) неравенство выполняется при всех значениях \(x\).
Вместе со случаем \(a = 0\) получаем: \(a \geqslant 0\).
Ответ: при \(a \geqslant 0\).
