Страница 63 номер 243, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) неравенство \(x^2 + 4x - a < 0\) не выполняется ни при каких значениях \(x\)?
Коэффициент при \(x^2\) равен 1 и от \(a\) не зависит: при любом \(a\) неравенство квадратное, ветви параболы \(f(x) = x^2 + 4x - a\) направлены вверх.
Неравенство не выполняется ни при каких \(x\), когда \(f(x) \geqslant 0\) при всех \(x\), то есть парабола не имеет общих точек с осью абсцисс (\(D < 0\)) или касается её (\(D = 0\)). При \(D > 0\) между точками пересечения с осью абсцисс значения функции отрицательны — неравенство имеет решения. Значит, нужно \(D \leqslant 0\): \[\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 16 + 4a; \\ 16 + 4a &\leqslant 0; \\ 4a &\leqslant -16; \qquad | : 4 \\ a &\leqslant -4. \end{aligned}\] При \(a = -4\) получаем \(x^2 + 4x + 4 < 0\), то есть \((x + 2)^2 < 0\) — квадрат числа не бывает отрицательным, решений нет, значение \(a = -4\) подходит.
Ответ: при \(a \leqslant -4\).
При каких значениях параметра \(a\) неравенство \(x^2 + 4x - a < 0\) не выполняется ни при каких значениях \(x\)?
Коэффициент при \(x^2\) равен 1 и от \(a\) не зависит, поэтому при каждом значении \(a\) неравенство квадратное, и графиком функции \(f(x) = x^2 + 4x - a\) является парабола, ветви которой направлены вверх.
Неравенство \(f(x) < 0\) не выполняется ни при каких значениях \(x\) тогда и только тогда, когда \(f(x) \geqslant 0\) при всех значениях \(x\), то есть ни одна точка параболы не лежит ниже оси абсцисс. Парабола с ветвями, направленными вверх, лежит не ниже оси абсцисс, если она не имеет общих точек с осью абсцисс (\(D < 0\)) или касается её (\(D = 0\)). Если же \(D > 0\), парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, и между ними значения функции отрицательны — неравенство имеет решения. Значит, нужно, чтобы дискриминант был неположителен: \[\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 16 + 4a; \\ 16 + 4a &\leqslant 0; \\ 4a &\leqslant -16; \qquad | : 4 \\ a &\leqslant -4. \end{aligned}\]
При \(a = -4\) неравенство принимает вид \(x^2 + 4x + 4 < 0\), то есть \((x + 2)^2 < 0\). Квадрат числа не бывает отрицательным, поэтому решений нет — значение \(a = -4\) подходит.
Ответ: при \(a \leqslant -4\).
