Страница 63 номер 242, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) неравенство \(ax^2 - 16 < 0\) выполняется при всех значениях \(x\)?
При \(a = 0\) неравенство имеет вид \(-16 < 0\) — верное числовое неравенство, выполняется при всех \(x\).
При \(a \ne 0\) неравенство квадратное и выполняется при всех \(x\), когда парабола \(f(x) = ax^2 - 16\) целиком лежит ниже оси абсцисс: ветви направлены вниз (\(a < 0\)) и \(D < 0\). При \(a > 0\) ветви направлены вверх — целиком ниже оси абсцисс парабола лежать не может. \[\begin{aligned} D &= 0^2 - 4 \cdot a \cdot (-16) = 64a; \\ 64a &< 0; \qquad | : 64 \\ a &< 0. \end{aligned}\] Условие \(a < 0\) совпадает с условием, при котором ветви направлены вниз, значит, при \(a < 0\) неравенство выполняется при всех \(x\).
Вместе со случаем \(a = 0\) получаем: \(a \leqslant 0\).
Ответ: при \(a \leqslant 0\).
При каких значениях параметра \(a\) неравенство \(ax^2 - 16 < 0\) выполняется при всех значениях \(x\)?
Рассмотрим случай, когда \(a = 0\). Неравенство принимает вид \(-16 < 0\). Это верное числовое неравенство, и переменной \(x\) в нём нет, поэтому при \(a = 0\) неравенство выполняется при всех значениях \(x\).
Пусть теперь \(a \ne 0\). Тогда неравенство квадратное, и графиком функции \(f(x) = ax^2 - 16\) является парабола. Неравенство \(f(x) < 0\) выполняется при всех значениях \(x\) тогда и только тогда, когда вся парабола лежит ниже оси абсцисс, то есть её ветви направлены вниз (\(a < 0\)) и она не имеет общих точек с осью абсцисс — дискриминант квадратного трёхчлена \(ax^2 - 16\) отрицателен (\(D < 0\)). При \(a > 0\) ветви параболы направлены вверх, и целиком ниже оси абсцисс она лежать не может.
Вычислим дискриминант и решим неравенство \(D < 0\): \[\begin{aligned} D &= 0^2 - 4 \cdot a \cdot (-16) = 64a; \\ 64a &< 0; \qquad | : 64 \\ a &< 0. \end{aligned}\] Условие \(a < 0\) совпадает с условием, при котором ветви параболы направлены вниз. Значит, при \(a < 0\) неравенство выполняется при всех значениях \(x\).
Вместе со случаем \(a = 0\) получаем: \(a \leqslant 0\).
Ответ: при \(a \leqslant 0\).
