Страница 61 номер 241, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) Разложим знаменатели на множители: \(y^2 - 2y = y(y - 2)\), \(y(2 - y) = -y(y - 2)\). Знаменатели не должны обращаться в нуль, поэтому \(y \ne 0\) и \(y \ne 2\). Перенесём минус из знаменателя правой дроби в числитель и соберём всё в левой части уравнения: \[\begin{aligned} \frac{y^2}{y(y - 2)} &= \frac{-4(5 - 3y)}{y(y - 2)}; \\ \frac{y^2 + 4(5 - 3y)}{y(y - 2)} &= 0; \\ \frac{y^2 - 12y + 20}{y(y - 2)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим уравнение \(y^2 - 12y + 20 = 0\): \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64\). Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} y_1 &= \frac{12 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 8}{2} = 2; \\ y_2 &= \frac{12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 8}{2} = 10. \end{aligned}\] При \(y = 2\) знаменатель \(y(y - 2)\) обращается в нуль, поэтому число 2 корнем уравнения не является. При \(y = 10\) знаменатель равен \(10 \cdot (10 - 2) = 80 \ne 0\), поэтому корень уравнения — число 10.

б) Знаменатели не должны обращаться в нуль, поэтому \(x \ne -4\) и \(x \ne 4\). При этом условии общий знаменатель дробей \((x + 4)(x - 4)\) не равен нулю. Умножим на него обе части уравнения, раскроем скобки, перенесём все слагаемые в одну часть и разделим обе части на 8: \[\begin{aligned} \frac{27}{x + 4} + \frac{5}{x - 4} &= 8; \qquad | \cdot (x + 4)(x - 4) \\ 27(x - 4) + 5(x + 4) &= 8(x + 4)(x - 4); \\ 27x - 108 + 5x + 20 &= 8x^2 - 128; \\ 8x^2 - 32x - 40 &= 0; \qquad | : 8 \\ x^2 - 4x - 5 &= 0; \\ D &= (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = -1; \\ x_2 &= \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = 5. \end{aligned}\] Оба корня отличны от \(-4\) и 4, поэтому знаменатели при них не обращаются в нуль.

в) Знаменатель \(x - 1\) не должен обращаться в нуль, поэтому \(x \ne 1\). По основному свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних; раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть: \[\begin{aligned} 5(x^2 - 7) &= (3x - 4)(x - 1); \\ 5x^2 - 35 &= 3x^2 - 3x - 4x + 4; \\ 2x^2 + 7x - 39 &= 0; \\ D &= 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-39) = 49 + 312 = 361. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-7 - \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 19}{4} = -6{,}5; \\ x_2 &= \frac{-7 + \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 19}{4} = 3. \end{aligned}\] Оба корня отличны от 1, поэтому знаменатель при них не обращается в нуль.

Ответ: а) 10; б) \(-1\); \(5\); в) \(-6{,}5\); \(3\).