Страница 61 номер 240, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения: а) \(\sqrt{11^2 \cdot 4}\); б) \((4 + \sqrt{5})^2 + (4 - \sqrt{5})^2\); в) \(\frac{1}{8 + \sqrt{62}} + \frac{1}{8 - \sqrt{62}}\).
а) \[\sqrt{11^2 \cdot 4} = \sqrt{11^2} \cdot \sqrt{4} = 11 \cdot 2 = 22.\]
б) \[(4 + \sqrt{5})^2 + (4 - \sqrt{5})^2 = 16 + 8\sqrt{5} + 5 + 16 - 8\sqrt{5} + 5 = 42.\]
в) \[\begin{aligned} &\frac{1}{8 + \sqrt{62}} + \frac{1}{8 - \sqrt{62}} = \frac{8 - \sqrt{62} + 8 + \sqrt{62}}{(8 + \sqrt{62})(8 - \sqrt{62})} = {} \\ &= \frac{16}{8^2 - (\sqrt{62})^2} = \frac{16}{64 - 62} = \frac{16}{2} = 8. \end{aligned}\]
Ответ: а) 22; б) 42; в) 8.
Найдите значение выражения: а) \(\sqrt{11^2 \cdot 4}\); б) \((4 + \sqrt{5})^2 + (4 - \sqrt{5})^2\); в) \(\frac{1}{8 + \sqrt{62}} + \frac{1}{8 - \sqrt{62}}\).
а) Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из них: \[\sqrt{11^2 \cdot 4} = \sqrt{11^2} \cdot \sqrt{4} = 11 \cdot 2 = 22.\]
б) Квадраты суммы и разности раскроем по формулам \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) и \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\); при этом \((\sqrt{5})^2 = 5\), а \(2 \cdot 4 \cdot \sqrt{5} = 8\sqrt{5}\): \[(4 + \sqrt{5})^2 + (4 - \sqrt{5})^2 = 16 + 8\sqrt{5} + 5 + 16 - 8\sqrt{5} + 5 = 42.\]
в) Приведём дроби к общему знаменателю \((8 + \sqrt{62})(8 - \sqrt{62})\) и вычислим его по формуле разности квадратов \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\): \[\begin{aligned} &\frac{1}{8 + \sqrt{62}} + \frac{1}{8 - \sqrt{62}} = \frac{8 - \sqrt{62} + 8 + \sqrt{62}}{(8 + \sqrt{62})(8 - \sqrt{62})} = {} \\ &= \frac{16}{8^2 - (\sqrt{62})^2} = \frac{16}{64 - 62} = \frac{16}{2} = 8. \end{aligned}\]
Ответ: а) 22; б) 42; в) 8.
