Страница 61 номер 239, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(2 - \frac{5x - 4}{3x + 5} = 0\); б) \(\frac{x + 6}{x - 4} = \frac{1}{x}\); в) \(\frac{10}{x + 1} - \frac{x - 13}{6} = 3\).
а) \[\begin{aligned} 2 - \frac{5x - 4}{3x + 5} &= 0; \\ \frac{2(3x + 5) - (5x - 4)}{3x + 5} &= 0; \\ \frac{6x + 10 - 5x + 4}{3x + 5} &= 0; \\ \frac{x + 14}{3x + 5} &= 0. \end{aligned}\] \(x + 14 = 0\) при \(x = -14\), знаменатель при этом равен \(3 \cdot (-14) + 5 = -37 \ne 0\).
б) \(x \ne 4\) и \(x \ne 0\) — знаменатели не равны нулю. \[\begin{aligned} x(x + 6) &= x - 4; \\ x^2 + 6x - x + 4 &= 0; \\ x^2 + 5x + 4 &= 0; \\ D &= 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9; \\ x_1 &= \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 3}{2} = -4; \\ x_2 &= \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 3}{2} = -1. \end{aligned}\] Оба корня отличны от 0 и 4.
в) \(x \ne -1\), поэтому общий знаменатель \(6(x + 1)\) не равен нулю. \[\begin{aligned} \frac{10}{x + 1} - \frac{x - 13}{6} &= 3; \qquad | \cdot 6(x + 1) \\ 60 - (x - 13)(x + 1) &= 18(x + 1); \\ 60 - x^2 + 12x + 13 &= 18x + 18; \\ x^2 + 6x - 55 &= 0; \\ D &= 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-55) = 36 + 220 = 256; \\ x_1 &= \frac{-6 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 16}{2} = -11; \\ x_2 &= \frac{-6 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 16}{2} = 5. \end{aligned}\] Оба корня отличны от \(-1\).
Ответ: а) \(-14\); б) \(-4\); \(-1\); в) \(-11\); \(5\).
Решите уравнение: а) \(2 - \frac{5x - 4}{3x + 5} = 0\); б) \(\frac{x + 6}{x - 4} = \frac{1}{x}\); в) \(\frac{10}{x + 1} - \frac{x - 13}{6} = 3\).
а) Приведём левую часть к общему знаменателю \(3x + 5\): \[\begin{aligned} 2 - \frac{5x - 4}{3x + 5} &= 0; \\ \frac{2(3x + 5) - (5x - 4)}{3x + 5} &= 0; \\ \frac{6x + 10 - 5x + 4}{3x + 5} &= 0; \\ \frac{x + 14}{3x + 5} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: \(x + 14 = 0\) при \(x = -14\), и при этом \(3 \cdot (-14) + 5 = -37 \ne 0\).
б) Знаменатели не должны обращаться в нуль, поэтому \(x \ne 4\) и \(x \ne 0\). По основному свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних; раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть: \[\begin{aligned} x(x + 6) &= x - 4; \\ x^2 + 6x - x + 4 &= 0; \\ x^2 + 5x + 4 &= 0; \\ D &= 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 3}{2} = -4; \\ x_2 &= \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 3}{2} = -1. \end{aligned}\] Оба корня отличны от 0 и 4, поэтому знаменатели при них не обращаются в нуль.
в) Знаменатель \(x + 1\) не должен обращаться в нуль, поэтому \(x \ne -1\). При этом условии общий знаменатель дробей \(6(x + 1)\) не равен нулю. Умножим на него обе части уравнения, раскроем скобки и перенесём все слагаемые в одну часть: \[\begin{aligned} \frac{10}{x + 1} - \frac{x - 13}{6} &= 3; \qquad | \cdot 6(x + 1) \\ 60 - (x - 13)(x + 1) &= 18(x + 1); \\ 60 - x^2 + 12x + 13 &= 18x + 18; \\ x^2 + 6x - 55 &= 0; \\ D &= 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-55) = 36 + 220 = 256. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-6 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 16}{2} = -11; \\ x_2 &= \frac{-6 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 16}{2} = 5. \end{aligned}\] Оба корня отличны от \(-1\), поэтому знаменатель \(x + 1\) при них не обращается в нуль.
Ответ: а) \(-14\); б) \(-4\); \(-1\); в) \(-11\); \(5\).
