Страница 61 номер 237, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите область допустимых значений переменной \(x\) выражения \(\sqrt{\frac{x^2 - 9}{x - 9}}\).
Выражение имеет смысл, когда дробь под знаком корня определена и неотрицательна: \(\frac{x^2 - 9}{x - 9} \geqslant 0\).
\(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\), поэтому неравенство примет вид \[\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 9} \geqslant 0.\] \(x = 3\) и \(x = -3\) — нули числителя, \(x = 9\) — нуль знаменателя.
При \(x > 9\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через каждую из трёх точек меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак дроби меняется: на \((3; 9)\) дробь отрицательна, на \((-3; 3)\) — положительна, на \((-\infty; -3)\) — отрицательна.
Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя \(-3\) и 3 входят в решение, а нуль знаменателя 9 не входит. Значит, выражение имеет смысл при \(x \in [-3; 3] \cup (9; +\infty)\).
Ответ: \([-3; 3] \cup (9; +\infty)\).
Найдите область допустимых значений переменной \(x\) выражения \(\sqrt{\frac{x^2 - 9}{x - 9}}\).
Выражение имеет смысл, когда дробь под знаком корня определена и неотрицательна: \(\frac{x^2 - 9}{x - 9} \geqslant 0\). Разложим числитель по формуле разности квадратов: \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\). Неравенство примет вид \[\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 9} \geqslant 0.\] Решим его методом интервалов. Числитель обращается в нуль при \(x = 3\) и при \(x = -3\), знаменатель — при \(x = 9\).
При \(x > 9\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через каждую из трёх точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак дроби меняется: на промежутке \((3; 9)\) дробь отрицательна, на \((-3; 3)\) — положительна, на \((-\infty; -3)\) — отрицательна.
Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Дробь положительна на промежутках \((-3; 3)\) и \((9; +\infty)\). Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-3\) и 3, при которых числитель равен нулю, входят в решение; число 9, при котором знаменатель равен нулю, не входит. Значит, выражение имеет смысл при \(x \in [-3; 3] \cup (9; +\infty)\).
Ответ: \([-3; 3] \cup (9; +\infty)\).
