Страница 61 номер 236, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите область определения функции \(y = \sqrt{x(1 - x)(x + 2)(3 - x)(x + 4)}\).
Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно: \(x(1 - x)(x + 2)(3 - x)(x + 4) \geqslant 0\).
\(1 - x = -(x - 1)\), \(3 - x = -(x - 3)\) и \((-1) \cdot (-1) = 1\), поэтому неравенство примет вид \[x(x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) \geqslant 0.\] \(x = 0\), \(x = 1\), \(x = -2\), \(x = 3\) и \(x = -4\) — нули левой части.
При \(x > 3\) все пять множителей положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: «+» на \((3; +\infty)\), «−» на \((1; 3)\), «+» на \((0; 1)\), «−» на \((-2; 0)\), «+» на \((-4; -2)\), «−» на \((-\infty; -4)\).
Неравенство нестрогое, поэтому все нули входят в решение. Значит, область определения функции — \([-4; -2] \cup [0; 1] \cup [3; +\infty)\).
Ответ: \([-4; -2] \cup [0; 1] \cup [3; +\infty)\).
Найдите область определения функции \(y = \sqrt{x(1 - x)(x + 2)(3 - x)(x + 4)}\).
Функция определена при тех значениях \(x\), при которых подкоренное выражение неотрицательно: \(x(1 - x)(x + 2)(3 - x)(x + 4) \geqslant 0\). Вынесем минус из множителей \(1 - x = -(x - 1)\) и \(3 - x = -(x - 3)\); так как \((-1) \cdot (-1) = 1\), неравенство примет вид \[x(x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) \geqslant 0.\] Решим его методом интервалов. Левая часть обращается в нуль при \(x = 0\), \(x = 1\), \(x = -2\), \(x = 3\) и \(x = -4\).
При \(x > 3\) все пять множителей положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется. Получаем знаки на промежутках справа налево: «+» на \((3; +\infty)\), «−» на \((1; 3)\), «+» на \((0; 1)\), «−» на \((-2; 0)\), «+» на \((-4; -2)\), «−» на \((-\infty; -4)\).
Отметим нули на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Произведение положительно на промежутках \((-4; -2)\), \((0; 1)\) и \((3; +\infty)\). Неравенство нестрогое, поэтому все нули входят в решение. Значит, область определения функции — \([-4; -2] \cup [0; 1] \cup [3; +\infty)\).
Ответ: \([-4; -2] \cup [0; 1] \cup [3; +\infty)\).
