Страница 61 номер 235, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство \(\frac{(6x + 12)(x - 7)(x + 3)}{(2x - 8)(6 - x)} \ge 0\).
\(6x + 12 = 6(x + 2)\), \(2x - 8 = 2(x - 4)\), \(6 - x = -(x - 6)\).
Числовые множители дают \(\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -3\), поэтому неравенство примет вид \[-3 \cdot \frac{(x + 2)(x - 7)(x + 3)}{(x - 4)(x - 6)} \geqslant 0.\] \(x = -2\), \(x = 7\) и \(x = -3\) — нули числителя, \(x = 4\) и \(x = 6\) — нули знаменателя.
При \(x > 7\) все множители вида \((x - a)\) положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа \(-3\): она отрицательна. При переходе через каждую из пяти точек меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак левой части меняется: «−» на \((7; +\infty)\), «+» на \((6; 7)\), «−» на \((4; 6)\), «+» на \((-2; 4)\), «−» на \((-3; -2)\), «+» на \((-\infty; -3)\).
Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя \(-3\), \(-2\) и 7 входят в решение, а нули знаменателя 4 и 6 не входят: \(x \in (-\infty; -3] \cup [-2; 4) \cup (6; 7]\).
Ответ: \((-\infty; -3] \cup [-2; 4) \cup (6; 7]\).
Решите неравенство \(\frac{(6x + 12)(x - 7)(x + 3)}{(2x - 8)(6 - x)} \ge 0\).
Приведём множители к виду \((x - a)\), вынося коэффициенты при \(x\): \(6x + 12 = 6(x + 2)\), \(2x - 8 = 2(x - 4)\), \(6 - x = -(x - 6)\). Числовые множители дают \(\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -3\), поэтому неравенство примет вид \[-3 \cdot \frac{(x + 2)(x - 7)(x + 3)}{(x - 4)(x - 6)} \geqslant 0.\] Решим его методом интервалов. Числитель дроби обращается в нуль при \(x = -2\), \(x = 7\) и \(x = -3\), знаменатель — при \(x = 4\) и \(x = 6\).
При \(x > 7\) все множители вида \((x - a)\) положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа \(-3\): она отрицательна. При переходе через каждую из пяти точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак левой части меняется. Получаем знаки на промежутках справа налево: «−» на \((7; +\infty)\), «+» на \((6; 7)\), «−» на \((4; 6)\), «+» на \((-2; 4)\), «−» на \((-3; -2)\), «+» на \((-\infty; -3)\).
Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Левая часть положительна на промежутках \((-\infty; -3)\), \((-2; 4)\) и \((6; 7)\). Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-3\), \(-2\) и 7, при которых числитель равен нулю, входят в решение; числа 4 и 6, при которых знаменатель равен нулю, не входят: \(x \in (-\infty; -3] \cup [-2; 4) \cup (6; 7]\).
Ответ: \((-\infty; -3] \cup [-2; 4) \cup (6; 7]\).
