Страница 61 номер 234, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите область допустимых значений переменной \(x\) выражения \(\sqrt{\frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 1}}\).
Выражение имеет смысл, когда дробь под знаком корня определена и неотрицательна: \[\frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 1} \geqslant 0.\] \(x = 2\) и \(x = -3\) — нули числителя, \(x = 1\) — нуль знаменателя.
При \(x > 2\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через каждую из трёх точек меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак дроби меняется: на \((1; 2)\) дробь отрицательна, на \((-3; 1)\) — положительна, на \((-\infty; -3)\) — отрицательна.
Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя \(-3\) и 2 входят в решение, а нуль знаменателя 1 не входит. Значит, выражение имеет смысл при \(x \in [-3; 1) \cup [2; +\infty)\).
Ответ: \([-3; 1) \cup [2; +\infty)\).
Найдите область допустимых значений переменной \(x\) выражения \(\sqrt{\frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 1}}\).
Выражение имеет смысл, когда дробь под знаком корня определена и неотрицательна: \[\frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 1} \geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Числитель обращается в нуль при \(x = 2\) и при \(x = -3\), знаменатель — при \(x = 1\).
При \(x > 2\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через каждую из трёх точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак дроби меняется: на промежутке \((1; 2)\) дробь отрицательна, на \((-3; 1)\) — положительна, на \((-\infty; -3)\) — отрицательна.
Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Дробь положительна на промежутках \((-3; 1)\) и \((2; +\infty)\). Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-3\) и 2, при которых числитель равен нулю, входят в решение; число 1, при котором знаменатель равен нулю, не входит. Значит, выражение имеет смысл при \(x \in [-3; 1) \cup [2; +\infty)\).
Ответ: \([-3; 1) \cup [2; +\infty)\).
