Страница 61 номер 233, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите область определения функции \(y = \sqrt{x(x - 5)(x + 5)(x - 10)(x + 10)}\).
Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно: \[x(x - 5)(x + 5)(x - 10)(x + 10) \geqslant 0.\] \(x = 0\), \(x = 5\), \(x = -5\), \(x = 10\) и \(x = -10\) — нули левой части.
При \(x > 10\) все пять множителей положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: «+» на \((10; +\infty)\), «−» на \((5; 10)\), «+» на \((0; 5)\), «−» на \((-5; 0)\), «+» на \((-10; -5)\), «−» на \((-\infty; -10)\).
Неравенство нестрогое, поэтому все нули входят в решение. Значит, область определения функции — \([-10; -5] \cup [0; 5] \cup [10; +\infty)\).
Ответ: \([-10; -5] \cup [0; 5] \cup [10; +\infty)\).
Найдите область определения функции \(y = \sqrt{x(x - 5)(x + 5)(x - 10)(x + 10)}\).
Функция определена при тех значениях \(x\), при которых подкоренное выражение неотрицательно: \[x(x - 5)(x + 5)(x - 10)(x + 10) \geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Левая часть обращается в нуль при \(x = 0\), \(x = 5\), \(x = -5\), \(x = 10\) и \(x = -10\).
При \(x > 10\) все пять множителей положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется. Получаем знаки на промежутках справа налево: «+» на \((10; +\infty)\), «−» на \((5; 10)\), «+» на \((0; 5)\), «−» на \((-5; 0)\), «+» на \((-10; -5)\), «−» на \((-\infty; -10)\).
Отметим нули на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Произведение положительно на промежутках \((-10; -5)\), \((0; 5)\) и \((10; +\infty)\). Неравенство нестрогое, поэтому все нули входят в решение. Значит, область определения функции — \([-10; -5] \cup [0; 5] \cup [10; +\infty)\).
Ответ: \([-10; -5] \cup [0; 5] \cup [10; +\infty)\).
