Страница 61 номер 232, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Приведём множители к виду \((x - a)\), вынося коэффициенты при \(x\): \(1 + x = x + 1\), \(3 - x = -(x - 3)\), \(2x + 4 = 2(x + 2)\), \(3x - 6 = 3(x - 2)\). Числовые множители дают \(\frac{(-1) \cdot 2}{3} = -\frac{2}{3}\), поэтому неравенство примет вид \[-\frac{2}{3} \cdot \frac{(x + 1)(x - 3)(x + 2)}{(x + 5)(x - 2)} \leqslant 0.\] Решим его методом интервалов. Числитель дроби обращается в нуль при \(x = -1\), \(x = 3\) и \(x = -2\), знаменатель — при \(x = -5\) и \(x = 2\).

При \(x > 3\) все множители вида \((x - a)\) положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа \(-\frac{2}{3}\): она отрицательна. При переходе через каждую из пяти точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак левой части меняется. Получаем знаки на промежутках справа налево: «−» на \((3; +\infty)\), «+» на \((2; 3)\), «−» на \((-1; 2)\), «+» на \((-2; -1)\), «−» на \((-5; -2)\), «+» на \((-\infty; -5)\).

Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:

Левая часть отрицательна на промежутках \((-5; -2)\), \((-1; 2)\) и \((3; +\infty)\). Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-2\), \(-1\) и 3, при которых числитель равен нулю, входят в решение; числа \(-5\) и 2, при которых знаменатель равен нулю, не входят: \(x \in (-5; -2] \cup [-1; 2) \cup [3; +\infty)\).

Ответ: \((-5; -2] \cup [-1; 2) \cup [3; +\infty)\).