Страница 61 номер 231, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство методом интервалов: а) \(\frac{2x + 3}{x - 1} \le 0\); б) \(\frac{17 - 2x}{x + 2} > 0\); в) \(\frac{(-x + 2)(-x + 7)}{(x - 3)(7 + x)} \ge 0\).
а) \(x = -1{,}5\) — нуль числителя \(2x + 3\), \(x = 1\) — нуль знаменателя.
При \(x > 1\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через 1 меняет знак знаменатель, а при переходе через \(-1{,}5\) — числитель, поэтому оба раза знак дроби меняется: на \((-1{,}5; 1)\) дробь отрицательна, на \((-\infty; -1{,}5)\) — положительна.
Неравенство нестрогое, поэтому нуль числителя \(-1{,}5\) входит в решение, а нуль знаменателя 1 не входит: \(x \in [-1{,}5; 1)\).
б) \(17 - 2x = -2(x - 8{,}5)\), поэтому неравенство примет вид \(\frac{-2(x - 8{,}5)}{x + 2} > 0\).
\(x = 8{,}5\) — нуль числителя, \(x = -2\) — нуль знаменателя.
При \(x > 8{,}5\) выражения \(x - 8{,}5\) и \(x + 2\) положительны, поэтому знак дроби совпадает со знаком числа \(-2\): она отрицательна. При переходе через \(8{,}5\) меняет знак числитель, а при переходе через \(-2\) — знаменатель, поэтому оба раза знак дроби меняется: на \((-2; 8{,}5)\) дробь положительна, на \((-\infty; -2)\) — отрицательна.
Неравенство строгое, поэтому число \(8{,}5\) в решение не входит; число \(-2\) не входит, так как при нём дробь не определена: \(x \in (-2; 8{,}5)\).
в) \(-x + 2 = -(x - 2)\), \(-x + 7 = -(x - 7)\) и \((-1) \cdot (-1) = 1\), поэтому \((-x + 2)(-x + 7) = (x - 2)(x - 7)\) и неравенство примет вид \[\frac{(x - 2)(x - 7)}{(x - 3)(x + 7)} \geqslant 0.\] \(x = 2\) и \(x = 7\) — нули числителя, \(x = 3\) и \(x = -7\) — нули знаменателя.
При \(x > 7\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через каждую из четырёх точек меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак дроби меняется: на \((3; 7)\) дробь отрицательна, на \((2; 3)\) — положительна, на \((-7; 2)\) — отрицательна, на \((-\infty; -7)\) — положительна.
Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя 2 и 7 входят в решение, а нули знаменателя \(-7\) и 3 не входят: \(x \in (-\infty; -7) \cup [2; 3) \cup [7; +\infty)\).
Ответ: а) \([-1{,}5; 1)\); б) \((-2; 8{,}5)\); в) \((-\infty; -7) \cup [2; 3) \cup [7; +\infty)\).
Решите неравенство методом интервалов: а) \(\frac{2x + 3}{x - 1} \le 0\); б) \(\frac{17 - 2x}{x + 2} > 0\); в) \(\frac{(-x + 2)(-x + 7)}{(x - 3)(7 + x)} \ge 0\).
а) Числитель \(2x + 3\) обращается в нуль при \(x = -1{,}5\), знаменатель — при \(x = 1\).
При \(x > 1\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через 1 меняет знак знаменатель, а при переходе через \(-1{,}5\) — числитель, поэтому оба раза меняется знак дроби: на промежутке \((-1{,}5; 1)\) дробь отрицательна, на промежутке \((-\infty; -1{,}5)\) — положительна.
Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Дробь отрицательна на промежутке \((-1{,}5; 1)\). Неравенство нестрогое, поэтому число \(-1{,}5\), при котором числитель равен нулю, входит в решение; число 1, при котором знаменатель равен нулю, не входит: \(x \in [-1{,}5; 1)\).
б) Вынесем из числителя коэффициент при \(x\): \(17 - 2x = -2(x - 8{,}5)\). Неравенство примет вид \(\frac{-2(x - 8{,}5)}{x + 2} > 0\); числитель обращается в нуль при \(x = 8{,}5\), знаменатель — при \(x = -2\).
При \(x > 8{,}5\) выражения \(x - 8{,}5\) и \(x + 2\) положительны, поэтому знак дроби совпадает со знаком числа \(-2\): она отрицательна. При переходе через \(8{,}5\) меняет знак числитель, а при переходе через \(-2\) — знаменатель, поэтому оба раза меняется знак дроби: на промежутке \((-2; 8{,}5)\) дробь положительна, на промежутке \((-\infty; -2)\) — отрицательна.
Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Дробь положительна на промежутке \((-2; 8{,}5)\). Неравенство строгое, поэтому число \(8{,}5\) в решение не входит; число \(-2\) не входит, так как при нём дробь не определена: \(x \in (-2; 8{,}5)\).
в) Вынесем минус из каждого множителя числителя: \(-x + 2 = -(x - 2)\), \(-x + 7 = -(x - 7)\). Так как \((-1) \cdot (-1) = 1\), произведение \((-x + 2)(-x + 7)\) равно \((x - 2)(x - 7)\); кроме того, \(7 + x = x + 7\). Неравенство примет вид \[\frac{(x - 2)(x - 7)}{(x - 3)(x + 7)} \geqslant 0.\] Числитель обращается в нуль при \(x = 2\) и при \(x = 7\), знаменатель — при \(x = 3\) и при \(x = -7\).
При \(x > 7\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через каждую из четырёх точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак дроби меняется: на промежутке \((3; 7)\) дробь отрицательна, на \((2; 3)\) — положительна, на \((-7; 2)\) — отрицательна, на \((-\infty; -7)\) — положительна.
Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Дробь положительна на промежутках \((-\infty; -7)\), \((2; 3)\) и \((7; +\infty)\). Неравенство нестрогое, поэтому числа 2 и 7, при которых числитель равен нулю, входят в решение; числа \(-7\) и 3, при которых знаменатель равен нулю, не входят: \(x \in (-\infty; -7) \cup [2; 3) \cup [7; +\infty)\).
Ответ: а) \([-1{,}5; 1)\); б) \((-2; 8{,}5)\); в) \((-\infty; -7) \cup [2; 3) \cup [7; +\infty)\).
