Страница 61 номер 230, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство методом интервалов: а) \(\frac{x - 12}{x + 4} > 0\); б) \(\frac{23 - 4x}{x} \le 0\); в) \(\frac{(x + 1)(x + 3)}{(x - 5)(x - 15)} \le 0\).
а) \(x = 12\) — нуль числителя, \(x = -4\) — нуль знаменателя (при нём дробь не определена).
При \(x > 12\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через 12 меняет знак числитель, а при переходе через \(-4\) — знаменатель, поэтому оба раза знак дроби меняется: на \((-4; 12)\) дробь отрицательна, на \((-\infty; -4)\) — положительна.
Неравенство строгое, поэтому число 12 в решение не входит; число \(-4\) не входит, так как при нём дробь не определена: \(x \in (-\infty; -4) \cup (12; +\infty)\).
б) \(23 - 4x = -4(x - 5{,}75)\), поэтому неравенство примет вид \(\frac{-4(x - 5{,}75)}{x} \leqslant 0\).
\(x = 5{,}75\) — нуль числителя, \(x = 0\) — нуль знаменателя.
При \(x > 5{,}75\) выражения \(x - 5{,}75\) и \(x\) положительны, поэтому знак дроби совпадает со знаком числа \(-4\): она отрицательна. При переходе через \(5{,}75\) меняет знак числитель, а при переходе через 0 — знаменатель, поэтому оба раза знак дроби меняется: на \((0; 5{,}75)\) дробь положительна, на \((-\infty; 0)\) — отрицательна.
Неравенство нестрогое, поэтому нуль числителя \(5{,}75\) входит в решение, а нуль знаменателя 0 не входит: \(x \in (-\infty; 0) \cup [5{,}75; +\infty)\).
в) \(x = -1\) и \(x = -3\) — нули числителя, \(x = 5\) и \(x = 15\) — нули знаменателя.
При \(x > 15\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через каждую из четырёх точек меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак дроби меняется: на \((5; 15)\) дробь отрицательна, на \((-1; 5)\) — положительна, на \((-3; -1)\) — отрицательна, на \((-\infty; -3)\) — положительна.
Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя \(-3\) и \(-1\) входят в решение, а нули знаменателя 5 и 15 не входят: \(x \in [-3; -1] \cup (5; 15)\).
Ответ: а) \((-\infty; -4) \cup (12; +\infty)\); б) \((-\infty; 0) \cup [5{,}75; +\infty)\); в) \([-3; -1] \cup (5; 15)\).
Решите неравенство методом интервалов: а) \(\frac{x - 12}{x + 4} > 0\); б) \(\frac{23 - 4x}{x} \le 0\); в) \(\frac{(x + 1)(x + 3)}{(x - 5)(x - 15)} \le 0\).
а) Числитель обращается в нуль при \(x = 12\), знаменатель — при \(x = -4\); при \(x = -4\) дробь не определена.
При \(x > 12\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через 12 меняет знак числитель, а при переходе через \(-4\) — знаменатель, поэтому оба раза меняется знак дроби: на промежутке \((-4; 12)\) дробь отрицательна, на промежутке \((-\infty; -4)\) — положительна.
Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Дробь положительна на промежутках \((-\infty; -4)\) и \((12; +\infty)\). Неравенство строгое, поэтому число 12 в решение не входит; число \(-4\) не входит, так как при нём дробь не определена: \(x \in (-\infty; -4) \cup (12; +\infty)\).
б) Вынесем из числителя коэффициент при \(x\): \(23 - 4x = -4(x - 5{,}75)\). Неравенство примет вид \(\frac{-4(x - 5{,}75)}{x} \leqslant 0\); числитель обращается в нуль при \(x = 5{,}75\), знаменатель — при \(x = 0\).
При \(x > 5{,}75\) выражения \(x - 5{,}75\) и \(x\) положительны, поэтому знак дроби совпадает со знаком числа \(-4\): она отрицательна. При переходе через \(5{,}75\) меняет знак числитель, а при переходе через 0 — знаменатель, поэтому оба раза меняется знак дроби: на промежутке \((0; 5{,}75)\) дробь положительна, на промежутке \((-\infty; 0)\) — отрицательна.
Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Дробь отрицательна на промежутках \((-\infty; 0)\) и \((5{,}75; +\infty)\). Неравенство нестрогое, поэтому число \(5{,}75\), при котором числитель равен нулю, входит в решение; число 0, при котором знаменатель равен нулю, не входит: \(x \in (-\infty; 0) \cup [5{,}75; +\infty)\).
в) Числитель обращается в нуль при \(x = -1\) и при \(x = -3\), знаменатель — при \(x = 5\) и при \(x = 15\).
При \(x > 15\) все множители числителя и знаменателя положительны, поэтому дробь положительна. При переходе через каждую из четырёх точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак дроби меняется: на промежутке \((5; 15)\) дробь отрицательна, на \((-1; 5)\) — положительна, на \((-3; -1)\) — отрицательна, на \((-\infty; -3)\) — положительна.
Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Дробь отрицательна на промежутках \((-3; -1)\) и \((5; 15)\). Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-3\) и \(-1\), при которых числитель равен нулю, входят в решение; числа 5 и 15, при которых знаменатель равен нулю, не входят: \(x \in [-3; -1] \cup (5; 15)\).
Ответ: а) \((-\infty; -4) \cup (12; +\infty)\); б) \((-\infty; 0) \cup [5{,}75; +\infty)\); в) \([-3; -1] \cup (5; 15)\).
