Страница 61 номер 228, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство методом интервалов: а) \((x + 1)(x - 2) < 0\); б) \((x + 4)(7 - x) \ge 0\); в) \((0{,}2x + 3)(12 - 3x)(6 + 2x) > 0\).
а) \(x = -1\) и \(x = 2\) — нули левой части.
При \(x > 2\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на \((-1; 2)\) произведение отрицательно, на \((-\infty; -1)\) — положительно.
Неравенство строгое, нули в решение не входят: \(x \in (-1; 2)\).
б) \(7 - x = -(x - 7)\), поэтому неравенство примет вид \(-(x + 4)(x - 7) \geqslant 0\).
\(x = -4\) и \(x = 7\) — нули левой части.
При \(x > 7\) множители \(x + 4\) и \(x - 7\) положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа \(-1\): она отрицательна. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак левой части меняется: на \((-4; 7)\) она положительна, на \((-\infty; -4)\) — отрицательна.
Неравенство нестрогое, нули \(-4\) и 7 входят в решение: \(x \in [-4; 7]\).
в) \(0{,}2x + 3 = 0{,}2(x + 15)\), \(12 - 3x = -3(x - 4)\), \(6 + 2x = 2(x + 3)\).
Так как \(0{,}2 \cdot (-3) \cdot 2 = -1{,}2\), неравенство примет вид \(-1{,}2(x + 15)(x - 4)(x + 3) > 0\).
\(x = -15\), \(x = 4\) и \(x = -3\) — нули левой части.
При \(x > 4\) множители \(x + 15\), \(x - 4\) и \(x + 3\) положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа \(-1{,}2\): она отрицательна. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак левой части меняется: на \((-3; 4)\) она положительна, на \((-15; -3)\) — отрицательна, на \((-\infty; -15)\) — положительна.
Неравенство строгое, нули в решение не входят: \(x \in (-\infty; -15) \cup (-3; 4)\).
Ответ: а) \((-1; 2)\); б) \([-4; 7]\); в) \((-\infty; -15) \cup (-3; 4)\).
Решите неравенство методом интервалов: а) \((x + 1)(x - 2) < 0\); б) \((x + 4)(7 - x) \ge 0\); в) \((0{,}2x + 3)(12 - 3x)(6 + 2x) > 0\).
а) Левая часть обращается в нуль при \(x = -1\) и при \(x = 2\).
При \(x > 2\) оба множителя \(x + 1\) и \(x - 2\) положительны, поэтому их произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-1; 2)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; -1)\) — положительно.
Отметим нули на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Произведение отрицательно на промежутке \((-1; 2)\). Неравенство строгое, поэтому нули в решение не входят: \(x \in (-1; 2)\).
б) Вынесем минус из второго множителя: \(7 - x = -(x - 7)\). Неравенство примет вид \(-(x + 4)(x - 7) \geqslant 0\), его левая часть обращается в нуль при \(x = -4\) и при \(x = 7\).
При \(x > 7\) множители \(x + 4\) и \(x - 7\) положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа \(-1\): она отрицательна. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак левой части меняется: на промежутке \((-4; 7)\) она положительна, на промежутке \((-\infty; -4)\) — отрицательна.
Отметим нули на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Левая часть положительна на промежутке \((-4; 7)\). Неравенство нестрогое, поэтому нули \(-4\) и 7 входят в решение: \(x \in [-4; 7]\).
в) Вынесем из каждого множителя коэффициент при \(x\): \(0{,}2x + 3 = 0{,}2(x + 15)\), \(12 - 3x = -3(x - 4)\), \(6 + 2x = 2(x + 3)\). Так как \(0{,}2 \cdot (-3) \cdot 2 = -1{,}2\), неравенство примет вид \(-1{,}2(x + 15)(x - 4)(x + 3) > 0\), его левая часть обращается в нуль при \(x = -15\), \(x = 4\) и \(x = -3\).
При \(x > 4\) множители \(x + 15\), \(x - 4\) и \(x + 3\) положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа \(-1{,}2\): она отрицательна. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак левой части меняется: на промежутке \((-3; 4)\) она положительна, на \((-15; -3)\) — отрицательна, на \((-\infty; -15)\) — положительна.
Отметим нули на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Левая часть положительна на промежутках \((-\infty; -15)\) и \((-3; 4)\). Неравенство строгое, поэтому нули в решение не входят: \(x \in (-\infty; -15) \cup (-3; 4)\).
Ответ: а) \((-1; 2)\); б) \([-4; 7]\); в) \((-\infty; -15) \cup (-3; 4)\).
