Страница 61 номер 227, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство \((x^2 - 100)^3(3x + 5)^2 < 0\).
\(x^2 - 100 = (x - 10)(x + 10)\), поэтому \((x^2 - 100)^3 = (x - 10)^3(x + 10)^3\) и неравенство примет вид \[(x - 10)^3(x + 10)^3(3x + 5)^2 < 0.\] \(x = 10\), \(x = -10\) и \(x = -\frac{5}{3}\) (корень уравнения \(3x + 5 = 0\)) — нули левой части.
При \(x > 10\) все множители положительны, поэтому левая часть положительна. Выражения \(x - 10\) и \(x + 10\) стоят в нечётной (третьей) степени, поэтому при переходе через 10 и через \(-10\) знак левой части меняется. Множитель \((3x + 5)^2\) при \(x \ne -\frac{5}{3}\) положителен как квадрат ненулевого числа, поэтому при переходе через \(-\frac{5}{3}\) знак левой части не меняется. Значит, на \(\left(-\frac{5}{3}; 10\right)\) и \(\left(-10; -\frac{5}{3}\right)\) левая часть отрицательна, на \((-\infty; -10)\) — положительна.
Неравенство строгое, поэтому нули в решение не входят, в том числе \(-\frac{5}{3}\): \(x \in \left(-10; -\frac{5}{3}\right) \cup \left(-\frac{5}{3}; 10\right)\).
Ответ: \(\left(-10; -\frac{5}{3}\right) \cup \left(-\frac{5}{3}; 10\right)\).
Решите неравенство \((x^2 - 100)^3(3x + 5)^2 < 0\).
Разложим \(x^2 - 100\) на множители по формуле разности квадратов: \(x^2 - 100 = (x - 10)(x + 10)\), поэтому \((x^2 - 100)^3 = (x - 10)^3(x + 10)^3\). Неравенство примет вид \[(x - 10)^3(x + 10)^3(3x + 5)^2 < 0.\] Решим его методом интервалов. Левая часть обращается в нуль при \(x = 10\), \(x = -10\) и \(x = -\frac{5}{3}\) — корне уравнения \(3x + 5 = 0\).
При \(x > 10\) все множители положительны, поэтому левая часть положительна. Выражения \(x - 10\) и \(x + 10\) стоят в нечётной (третьей) степени, поэтому при переходе через 10 и через \(-10\) знак левой части меняется. Множитель \((3x + 5)^2\) при \(x \ne -\frac{5}{3}\) положителен как квадрат ненулевого числа, поэтому при переходе через \(-\frac{5}{3}\) знак левой части не меняется. Значит, на промежутках \(\left(-\frac{5}{3}; 10\right)\) и \(\left(-10; -\frac{5}{3}\right)\) левая часть отрицательна, на \((-\infty; -10)\) — положительна.
Отметим нули на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Левая часть отрицательна на промежутках \(\left(-10; -\frac{5}{3}\right)\) и \(\left(-\frac{5}{3}; 10\right)\). Неравенство строгое, поэтому нули в решение не входят; в частности, не входит число \(-\frac{5}{3}\), при котором левая часть равна нулю: \(x \in \left(-10; -\frac{5}{3}\right) \cup \left(-\frac{5}{3}; 10\right)\).
Ответ: \(\left(-10; -\frac{5}{3}\right) \cup \left(-\frac{5}{3}; 10\right)\).
