Страница 61 номер 225, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство методом интервалов: а) \((x - 5)(x + 3) > 0\); б) \((-x - 3)(x + 9) \le 0\); в) \((3 - 6x)(2 - 8x) \ge 0\).
а) \(x = 5\) и \(x = -3\) — нули левой части.
При \(x > 5\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на \((-3; 5)\) произведение отрицательно, на \((-\infty; -3)\) — положительно.
Неравенство строгое, нули в решение не входят: \(x \in (-\infty; -3) \cup (5; +\infty)\).
б) \(-x - 3 = -(x + 3)\), поэтому неравенство примет вид \(-(x + 3)(x + 9) \leqslant 0\).
\(x = -3\) и \(x = -9\) — нули левой части.
При \(x > -3\) множители \(x + 3\) и \(x + 9\) положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа \(-1\): она отрицательна. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак левой части меняется: на \((-9; -3)\) она положительна, на \((-\infty; -9)\) — отрицательна.
Неравенство нестрогое, нули \(-9\) и \(-3\) входят в решение: \(x \in (-\infty; -9] \cup [-3; +\infty)\).
в) \(3 - 6x = -6(x - 0{,}5)\), \(2 - 8x = -8(x - 0{,}25)\).
Так как \((-6) \cdot (-8) = 48\), неравенство примет вид \(48(x - 0{,}5)(x - 0{,}25) \geqslant 0\).
\(x = 0{,}5\) и \(x = 0{,}25\) — нули левой части.
При \(x > 0{,}5\) множители \(x - 0{,}5\) и \(x - 0{,}25\) положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа 48: она положительна. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак левой части меняется: на \((0{,}25; 0{,}5)\) она отрицательна, на \((-\infty; 0{,}25)\) — положительна.
Неравенство нестрогое, нули \(0{,}25\) и \(0{,}5\) входят в решение: \(x \in (-\infty; 0{,}25] \cup [0{,}5; +\infty)\).
Ответ: а) \((-\infty; -3) \cup (5; +\infty)\); б) \((-\infty; -9] \cup [-3; +\infty)\); в) \((-\infty; 0{,}25] \cup [0{,}5; +\infty)\).
Решите неравенство методом интервалов: а) \((x - 5)(x + 3) > 0\); б) \((-x - 3)(x + 9) \le 0\); в) \((3 - 6x)(2 - 8x) \ge 0\).
а) Левая часть обращается в нуль при \(x = 5\) и при \(x = -3\).
При \(x > 5\) оба множителя \(x - 5\) и \(x + 3\) положительны, поэтому их произведение положительно. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-3; 5)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; -3)\) — положительно.
Отметим нули на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Произведение положительно на промежутках \((-\infty; -3)\) и \((5; +\infty)\). Неравенство строгое, поэтому нули в решение не входят: \(x \in (-\infty; -3) \cup (5; +\infty)\).
б) Вынесем минус из первого множителя: \(-x - 3 = -(x + 3)\). Неравенство примет вид \(-(x + 3)(x + 9) \leqslant 0\), его левая часть обращается в нуль при \(x = -3\) и при \(x = -9\).
При \(x > -3\) множители \(x + 3\) и \(x + 9\) положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа \(-1\): она отрицательна. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак левой части меняется: на промежутке \((-9; -3)\) она положительна, на промежутке \((-\infty; -9)\) — отрицательна.
Отметим нули на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Левая часть отрицательна на промежутках \((-\infty; -9)\) и \((-3; +\infty)\). Неравенство нестрогое, поэтому нули \(-9\) и \(-3\) входят в решение: \(x \in (-\infty; -9] \cup [-3; +\infty)\).
в) Вынесем из каждого множителя коэффициент при \(x\): \(3 - 6x = -6(x - 0{,}5)\), \(2 - 8x = -8(x - 0{,}25)\). Так как \((-6) \cdot (-8) = 48\), неравенство примет вид \(48(x - 0{,}5)(x - 0{,}25) \geqslant 0\), его левая часть обращается в нуль при \(x = 0{,}5\) и при \(x = 0{,}25\).
При \(x > 0{,}5\) множители \(x - 0{,}5\) и \(x - 0{,}25\) положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа 48: она положительна. При переходе через каждый нуль меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак левой части меняется: на промежутке \((0{,}25; 0{,}5)\) она отрицательна, на промежутке \((-\infty; 0{,}25)\) — положительна.
Отметим нули на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Левая часть положительна на промежутках \((-\infty; 0{,}25)\) и \((0{,}5; +\infty)\). Неравенство нестрогое, поэтому нули \(0{,}25\) и \(0{,}5\) входят в решение: \(x \in (-\infty; 0{,}25] \cup [0{,}5; +\infty)\).
Ответ: а) \((-\infty; -3) \cup (5; +\infty)\); б) \((-\infty; -9] \cup [-3; +\infty)\); в) \((-\infty; 0{,}25] \cup [0{,}5; +\infty)\).
