Страница 53 номер 222, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(\frac{3x^2+11x}{x^2+7} = 0\); б) \(\frac{x^2-x-42}{x^2+5x-5} = 0\); в) \(\frac{-x^2+8x-19}{x^2-36} = 0\).
а) Числитель \(3x^2 + 11x = x(3x + 11)\) равен нулю, когда \(x = 0\) или \(3x + 11 = 0\), откуда \(3x = -11\), \(x = -\frac{11}{3}\). Знаменатель \(x^2 + 7\) не равен нулю ни при каком \(x\): так как \(x^2 \geqslant 0\), то \(x^2 + 7 \geqslant 7\). Значит, корни уравнения — числа \(-\frac{11}{3}\) и 0.
б) Числитель равен нулю, если \(x^2 - x - 42 = 0\):
\[\begin{aligned} D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169; \\ x_1 &= \frac{1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 13}{2} = -6; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 13}{2} = 7. \end{aligned}\]
При \(x = -6\) знаменатель равен \((-6)^2 + 5 \cdot (-6) - 5 = 36 - 30 - 5 = 1 \ne 0\).
При \(x = 7\) знаменатель равен \(7^2 + 5 \cdot 7 - 5 = 49 + 35 - 5 = 79 \ne 0\).
Значит, корни уравнения — числа \(-6\) и 7.
в) Числитель равен нулю, если \(-x^2 + 8x - 19 = 0\). Дискриминант этого уравнения \(D = 8^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-19) = 64 - 76 = -12 < 0\), поэтому числитель не обращается в нуль ни при каком \(x\) и исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: а) \(-\frac{11}{3}\) и 0; б) \(-6\) и 7; в) корней нет.
Решите уравнение: а) \(\frac{3x^2+11x}{x^2+7} = 0\); б) \(\frac{x^2-x-42}{x^2+5x-5} = 0\); в) \(\frac{-x^2+8x-19}{x^2-36} = 0\).
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
а) Числитель \(3x^2 + 11x = x(3x + 11)\) равен нулю, когда \(x = 0\) или \(3x + 11 = 0\), откуда \(3x = -11\), \(x = -\frac{11}{3}\). Знаменатель \(x^2 + 7\) не равен нулю ни при каком \(x\): так как \(x^2 \geqslant 0\), то \(x^2 + 7 \geqslant 7\). Значит, корни уравнения — числа \(-\frac{11}{3}\) и 0.
б) Числитель равен нулю, если \(x^2 - x - 42 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169; \\ x_1 &= \frac{1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 13}{2} = -6; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 13}{2} = 7. \end{aligned}\] При \(x = -6\) знаменатель равен \((-6)^2 + 5 \cdot (-6) - 5 = 36 - 30 - 5 = 1 \ne 0\), при \(x = 7\) он равен \(7^2 + 5 \cdot 7 - 5 = 49 + 35 - 5 = 79 \ne 0\). Значит, корни уравнения — числа \(-6\) и 7.
в) Числитель равен нулю, если \(-x^2 + 8x - 19 = 0\). Дискриминант этого уравнения \(D = 8^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-19) = 64 - 76 = -12 < 0\), поэтому уравнение корней не имеет: числитель не обращается в нуль ни при каком \(x\). Значит, дробь в левой части не равна нулю ни при каком \(x\), и исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: а) \(-\frac{11}{3}\) и 0; б) \(-6\) и 7; в) корней нет.
