Страница 53 номер 216, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(q = 60 - 5p\) — объём спроса, единиц в месяц
\(r(p) = q \cdot p\) — выручка за месяц, тыс. руб.
\(r(p) \geqslant 160\)

Найти: наибольшее значение \(p\) (тыс. руб.).

Решение:

Выразим выручку через цену: \(r(p) = (60 - 5p) \cdot p = 60p - 5p^2\). Решим неравенство \(r(p) \geqslant 160\): перенесём 160 в левую часть и разделим обе части неравенства на отрицательное число \(-5\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} 60p - 5p^2 &\geqslant 160; \\ -5p^2 + 60p - 160 &\geqslant 0; \qquad | : (-5) \\ p^2 - 12p + 32 &\leqslant 0. \end{aligned}\] Найдём нули функции \(y = p^2 - 12p + 32\): \[\begin{aligned} p^2 - 12p + 32 &= 0; \\ D &= (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16; \\ p_1 &= \frac{12 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 4}{2} = 4; \\ p_2 &= \frac{12 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 4}{2} = 8. \end{aligned}\] Коэффициент при \(p^2\) равен \(1 > 0\), поэтому ветви параболы — графика этой функции — направлены вверх. Значит, функция принимает отрицательные значения между нулями, при \(4 < p < 8\), и положительные — при \(p < 4\) и при \(p > 8\). Неравенство нестрогое, поэтому нули функции входят в множество его решений: \(4 \leqslant p \leqslant 8\).

Следовательно, месячная выручка составит не меньше 160 тыс. руб. при цене от 4 до 8 тыс. руб. включительно, и наибольшая такая цена — 8 тыс. руб. При этой цене спрос равен \(60 - 5 \cdot 8 = 20\) (единиц), а выручка — \(20 \cdot 8 = 160\) (тыс. руб.).

Ответ: 8 тыс. руб.