Страница 53 номер 215, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите область определения функции: а) \(y = \frac{-12+x^2}{\sqrt{-14+5x+x^2}}\); б) \(y = \sqrt{(x-3)(-2-x)}\).
а) Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть \(-14 + 5x + x^2 \geqslant 0\), и знаменатель не равен нулю, то есть \(\sqrt{-14 + 5x + x^2} \ne 0\), откуда \(-14 + 5x + x^2 \ne 0\). Следовательно, значения выражения \(-14 + 5x + x^2\) должны быть строго положительными: \(x^2 + 5x - 14 > 0\).
Нули функции \(y = x^2 + 5x - 14\): \[\begin{aligned} x^2 + 5x - 14 &= 0; \\ D &= 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81; \\ x_1 &= \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = -7; \\ x_2 &= \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = 2. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\), поэтому ветви параболы направлены вверх.
Функция \(y = x^2 + 5x - 14\) принимает положительные значения при \(x < -7\) и при \(x > 2\). Концы включать не нужно, так как неравенство строгое: при \(x = -7\) и \(x = 2\) знаменатель обращается в нуль. Значит, область определения исходной функции — \((-\infty; -7) \cup (2; +\infty)\).
б) Функция определена при \((x - 3)(-2 - x) \geqslant 0\). Произведение \((x - 3)(-2 - x)\) равно нулю, когда \(x - 3 = 0\) или \(-2 - x = 0\), поэтому нули функции \(y = (x - 3)(-2 - x)\) — числа \(-2\) и 3.
\((x - 3)(-2 - x) = -2x - x^2 + 6 + 3x = -x^2 + x + 6\). Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1 < 0\), поэтому ветви параболы направлены вниз.
Функция \(y = (x - 3)(-2 - x)\) принимает положительные значения на интервале \((-2; 3)\) и равна нулю при \(x = -2\) и \(x = 3\). Неравенство нестрогое, поэтому концы промежутка входят в множество решений. Значит, область определения исходной функции — \([-2; 3]\).
Ответ: а) \((-\infty; -7) \cup (2; +\infty)\); б) \([-2; 3]\).
Найдите область определения функции: а) \(y = \frac{-12+x^2}{\sqrt{-14+5x+x^2}}\); б) \(y = \sqrt{(x-3)(-2-x)}\).
а) Для того чтобы значение выражения \(\frac{-12 + x^2}{\sqrt{-14 + 5x + x^2}}\) было определено, необходимы и достаточны два условия: подкоренное выражение неотрицательно, то есть \(-14 + 5x + x^2 \geqslant 0\), и знаменатель не равен нулю, то есть \(\sqrt{-14 + 5x + x^2} \ne 0\). Арифметический квадратный корень равен нулю только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю, поэтому второе условие означает, что \(-14 + 5x + x^2 \ne 0\). Иными словами, значения выражения \(-14 + 5x + x^2\) должны быть строго положительными. Числитель \(-12 + x^2\) определён при любом \(x\) и других условий не даёт.
Решим неравенство \(x^2 + 5x - 14 > 0\). Найдём нули функции \(y = x^2 + 5x - 14\): \[\begin{aligned} x^2 + 5x - 14 &= 0; \\ D &= 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81; \\ x_1 &= \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = -7; \\ x_2 &= \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = 2. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\), поэтому ветви параболы направлены вверх. Нарисуем эскиз параболы и выделим штриховкой множество решений неравенства \(x^2 + 5x - 14 > 0\):
Функция \(y = x^2 + 5x - 14\) принимает положительные значения при \(x < -7\) и при \(x > 2\). Концы включать не нужно, так как неравенство строгое: при \(x = -7\) и \(x = 2\) знаменатель обращается в нуль. Значит, область определения исходной функции — \((-\infty; -7) \cup (2; +\infty)\).
б) Функция определена при тех значениях \(x\), при которых \((x - 3)(-2 - x) \geqslant 0\). Произведение \((x - 3)(-2 - x)\) равно нулю, когда \(x - 3 = 0\) или \(-2 - x = 0\), поэтому нули функции \(y = (x - 3)(-2 - x)\) — числа \(-2\) и 3. Раскроем скобки: \((x - 3)(-2 - x) = -2x - x^2 + 6 + 3x = -x^2 + x + 6\). Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1 < 0\), поэтому ветви параболы направлены вниз. Нарисуем эскиз параболы и выделим штриховкой множество решений неравенства \((x - 3)(-2 - x) \geqslant 0\):
Функция \(y = (x - 3)(-2 - x)\) принимает положительные значения на интервале \((-2; 3)\) и равна нулю при \(x = -2\) и \(x = 3\). Неравенство нестрогое, поэтому концы промежутка входят в множество решений. Значит, область определения исходной функции — \([-2; 3]\).
Ответ: а) \((-\infty; -7) \cup (2; +\infty)\); б) \([-2; 3]\).
