Страница 53 номер 214, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Высота подброшенного над землёй мяча меняется по закону \(h(t) = 1{,}6 + 8t - 5t^2\), где \(h\) — высота (в метрах), \(t\) — время (в секундах), прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не меньше трёх метров?
Дано:
\(h(t) = 1{,}6 + 8t - 5t^2\) — высота мяча, м
\(h(t) \geqslant 3\)
Найти: время, в течение которого \(h(t) \geqslant 3\).
Решение:
Умножаем на отрицательное число \(-1\), знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} 1{,}6 + 8t - 5t^2 &\geqslant 3; \\ -5t^2 + 8t - 1{,}4 &\geqslant 0; \qquad | \cdot (-1) \\ 5t^2 - 8t + 1{,}4 &\leqslant 0. \end{aligned}\] Нули функции \(y = 5t^2 - 8t + 1{,}4\): \[\begin{aligned} 5t^2 - 8t + 1{,}4 &= 0; \\ D &= (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1{,}4 = 64 - 28 = 36; \\ t_1 &= \frac{8 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 6}{10} = 0{,}2; \\ t_2 &= \frac{8 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 6}{10} = 1{,}4. \end{aligned}\] Коэффициент при \(t^2\) равен \(5 > 0\), поэтому ветви параболы направлены вверх. Значит, функция принимает отрицательные значения между нулями, при \(0{,}2 < t < 1{,}4\), и положительные — при \(t < 0{,}2\) и при \(t > 1{,}4\). Неравенство нестрогое, поэтому нули функции входят в множество его решений: \(0{,}2 \leqslant t \leqslant 1{,}4\).
\(1{,}4 - 0{,}2 = 1{,}2\) (с) — время, в течение которого мяч находится на высоте не меньше трёх метров.
Ответ: \(1{,}2\) с.
Высота подброшенного над землёй мяча меняется по закону \(h(t) = 1{,}6 + 8t - 5t^2\), где \(h\) — высота (в метрах), \(t\) — время (в секундах), прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не меньше трёх метров?
Дано:
\(h(t) = 1{,}6 + 8t - 5t^2\) — высота мяча, м
\(h(t) \geqslant 3\)
Найти: время, в течение которого \(h(t) \geqslant 3\).
Решение:
Мяч находится на высоте не меньше трёх метров в те моменты времени \(t\), для которых \(h(t) \geqslant 3\). Перенесём 3 в левую часть и умножим обе части неравенства на \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} 1{,}6 + 8t - 5t^2 &\geqslant 3; \\ -5t^2 + 8t - 1{,}4 &\geqslant 0; \qquad | \cdot (-1) \\ 5t^2 - 8t + 1{,}4 &\leqslant 0. \end{aligned}\] Найдём нули функции \(y = 5t^2 - 8t + 1{,}4\): \[\begin{aligned} 5t^2 - 8t + 1{,}4 &= 0; \\ D &= (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1{,}4 = 64 - 28 = 36; \\ t_1 &= \frac{8 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 6}{10} = 0{,}2; \\ t_2 &= \frac{8 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 6}{10} = 1{,}4. \end{aligned}\] Коэффициент при \(t^2\) равен \(5 > 0\), поэтому ветви параболы — графика этой функции — направлены вверх. Значит, функция принимает отрицательные значения между нулями, при \(0{,}2 < t < 1{,}4\), и положительные — при \(t < 0{,}2\) и при \(t > 1{,}4\). Неравенство нестрогое, поэтому нули функции входят в множество его решений: \(0{,}2 \leqslant t \leqslant 1{,}4\).
Следовательно, мяч находится на высоте не меньше трёх метров с момента \(t = 0{,}2\) с до момента \(t = 1{,}4\) с, то есть в течение \(1{,}4 - 0{,}2 = 1{,}2\) (с).
Ответ: \(1{,}2\) с.
