Страница 53 номер 213, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(q = 100 - 10p\) — объём спроса, единиц в месяц
\(r(p) = q \cdot p\) — выручка за месяц, тыс. руб.
\(r(p) \geqslant 240\)

Найти: наибольшее значение \(p\) (тыс. руб.).

Решение:

Выразим выручку через цену: \(r(p) = (100 - 10p) \cdot p = 100p - 10p^2\). Решим неравенство \(r(p) \geqslant 240\): перенесём 240 в левую часть и разделим обе части неравенства на отрицательное число \(-10\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} 100p - 10p^2 &\geqslant 240; \\ -10p^2 + 100p - 240 &\geqslant 0; \qquad | : (-10) \\ p^2 - 10p + 24 &\leqslant 0. \end{aligned}\] Найдём нули функции \(y = p^2 - 10p + 24\): \[\begin{aligned} p^2 - 10p + 24 &= 0; \\ D &= (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4; \\ p_1 &= \frac{10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = 4; \\ p_2 &= \frac{10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = 6. \end{aligned}\] Коэффициент при \(p^2\) равен \(1 > 0\), поэтому ветви параболы — графика этой функции — направлены вверх. Значит, функция принимает отрицательные значения между нулями, при \(4 < p < 6\), и положительные — при \(p < 4\) и при \(p > 6\). Неравенство нестрогое, поэтому нули функции входят в множество его решений: \(4 \leqslant p \leqslant 6\).

Следовательно, месячная выручка составит не меньше 240 тыс. руб. при цене от 4 до 6 тыс. руб. включительно, и наибольшая такая цена — 6 тыс. руб. При этой цене спрос равен \(100 - 10 \cdot 6 = 40\) (единиц), а выручка — \(40 \cdot 6 = 240\) (тыс. руб.).

Ответ: 6 тыс. руб.