Страница 53 номер 212, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите область определения функции: а) \(y = \sqrt{x^2 - 8x + 15}\); б) \(y = \sqrt{(4+x)(6-x)}\).
а) Функция определена при \(x^2 - 8x + 15 \geqslant 0\). Нули функции \(y = x^2 - 8x + 15\): \[\begin{aligned} x^2 - 8x + 15 &= 0; \\ D &= (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4; \\ x_1 &= \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2}{2} = 3; \\ x_2 &= \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = 5. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\), поэтому ветви параболы направлены вверх.
Функция \(y = x^2 - 8x + 15\) принимает положительные значения при \(x < 3\) и при \(x > 5\) и равна нулю при \(x = 3\) и \(x = 5\). Неравенство нестрогое, поэтому нули функции входят в множество его решений. Значит, область определения исходной функции — \((-\infty; 3] \cup [5; +\infty)\).
б) Функция определена при \((4 + x)(6 - x) \geqslant 0\). Произведение \((4 + x)(6 - x)\) равно нулю, когда \(4 + x = 0\) или \(6 - x = 0\), поэтому нули функции \(y = (4 + x)(6 - x)\) — числа \(-4\) и 6.
\((4 + x)(6 - x) = 24 - 4x + 6x - x^2 = -x^2 + 2x + 24\). Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1 < 0\), поэтому ветви параболы направлены вниз.
Функция \(y = (4 + x)(6 - x)\) принимает положительные значения на интервале \((-4; 6)\) и равна нулю при \(x = -4\) и \(x = 6\). Неравенство нестрогое, поэтому концы промежутка входят в множество решений. Значит, область определения исходной функции — \([-4; 6]\).
Ответ: а) \((-\infty; 3] \cup [5; +\infty)\); б) \([-4; 6]\).
Найдите область определения функции: а) \(y = \sqrt{x^2 - 8x + 15}\); б) \(y = \sqrt{(4+x)(6-x)}\).
а) Функция определена при тех значениях \(x\), при которых подкоренное выражение неотрицательно: \(x^2 - 8x + 15 \geqslant 0\). Решим это квадратное неравенство. Найдём нули функции \(y = x^2 - 8x + 15\): \[\begin{aligned} x^2 - 8x + 15 &= 0; \\ D &= (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4; \\ x_1 &= \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2}{2} = 3; \\ x_2 &= \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = 5. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\), поэтому ветви параболы направлены вверх. Нарисуем эскиз параболы и выделим штриховкой множество решений неравенства \(x^2 - 8x + 15 \geqslant 0\):
Функция \(y = x^2 - 8x + 15\) принимает положительные значения при \(x < 3\) и при \(x > 5\) и равна нулю при \(x = 3\) и \(x = 5\). Неравенство нестрогое, поэтому нули функции входят в множество его решений. Значит, область определения исходной функции — \((-\infty; 3] \cup [5; +\infty)\).
б) Функция определена при тех значениях \(x\), при которых \((4 + x)(6 - x) \geqslant 0\). Произведение \((4 + x)(6 - x)\) равно нулю, когда \(4 + x = 0\) или \(6 - x = 0\), поэтому нули функции \(y = (4 + x)(6 - x)\) — числа \(-4\) и 6. Раскроем скобки: \((4 + x)(6 - x) = 24 - 4x + 6x - x^2 = -x^2 + 2x + 24\). Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1 < 0\), поэтому ветви параболы направлены вниз. Нарисуем эскиз параболы и выделим штриховкой множество решений неравенства \((4 + x)(6 - x) \geqslant 0\):
Функция \(y = (4 + x)(6 - x)\) принимает положительные значения на интервале \((-4; 6)\) и равна нулю при \(x = -4\) и \(x = 6\). Неравенство нестрогое, поэтому концы промежутка входят в множество решений. Значит, область определения исходной функции — \([-4; 6]\).
Ответ: а) \((-\infty; 3] \cup [5; +\infty)\); б) \([-4; 6]\).
