Страница 53 номер 209, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте схематично график функции \(P(x) = -(x-7)(x+4)\) и решите неравенство \(P(x) \ge 0\).
Нули функции: \(x - 7 = 0\) или \(x + 4 = 0\), то есть \(x = 7\) или \(x = -4\).
\(-(x - 7)(x + 4) = -(x^2 + 4x - 7x - 28) = -x^2 + 3x + 28\).
Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\), он отрицателен, поэтому графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз.
Парабола лежит выше оси \(x\) между точками \(-4\) и 7, то есть \(P(x) > 0\) при \(-4 < x < 7\). Неравенство \(P(x) \geqslant 0\) нестрогое, поэтому нули функции \(x = -4\) и \(x = 7\) тоже являются его решениями.
Ответ: \([-4; 7]\).
Постройте схематично график функции \(P(x) = -(x-7)(x+4)\) и решите неравенство \(P(x) \ge 0\).
Найдём нули функции \(P(x) = -(x - 7)(x + 4)\). Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а множитель \(-1\) нулю не равен. Значит, \(x - 7 = 0\) или \(x + 4 = 0\), то есть \(x = 7\) или \(x = -4\). Нули функции — числа \(-4\) и 7.
Раскроем скобки: \(-(x - 7)(x + 4) = -(x^2 + 4x - 7x - 28) = -x^2 + 3x + 28\). Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\), он отрицателен, поэтому графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим схематично график функции \(P(x)\) и выделим штриховкой множество решений неравенства \(P(x) \geqslant 0\):
Парабола лежит выше оси \(x\) между точками \(-4\) и 7, то есть \(P(x) > 0\) при \(-4 < x < 7\). Неравенство \(P(x) \geqslant 0\) нестрогое, поэтому нули функции \(x = -4\) и \(x = 7\) тоже являются его решениями.
Ответ: \([-4; 7]\).
