Страница 52 номер 207, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Используя схематическое построение графика подходящей функции, решите неравенство \(x^2 + 2x - 8 > 0\).
Рассмотрим функцию \(y = x^2 + 2x - 8\). Её нули — корни уравнения \(x^2 + 2x - 8 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36; \\ x_1 &= \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4; \\ x_2 &= \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2. \end{aligned}\]
Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен, поэтому графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Парабола лежит выше оси \(x\) левее точки \(-4\) и правее точки 2, то есть функция принимает положительные значения при \(x < -4\) и при \(x > 2\). Концы включать не нужно, так как неравенство строгое.
Ответ: \((-\infty; -4) \cup (2; +\infty)\).
Используя схематическое построение графика подходящей функции, решите неравенство \(x^2 + 2x - 8 > 0\).
Рассмотрим функцию \(y = x^2 + 2x - 8\). Её нули — корни уравнения \(x^2 + 2x - 8 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36; \\ x_1 &= \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4; \\ x_2 &= \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен, поэтому графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Нарисуем эскиз параболы и выделим штриховкой множество решений неравенства \(x^2 + 2x - 8 > 0\):
Парабола лежит выше оси \(x\) левее точки \(-4\) и правее точки 2, то есть функция принимает положительные значения при \(x < -4\) и при \(x > 2\). Концы включать не нужно, так как неравенство строгое.
Ответ: \((-\infty; -4) \cup (2; +\infty)\).
