Страница 52 номер 206, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Используя схематическое построение графика подходящей функции, решите неравенство \((x - \sqrt{11})(x - 3) \le 0\).
Рассмотрим функцию \(y = (x - \sqrt{11})(x - 3)\).
\(x - \sqrt{11} = 0\) или \(x - 3 = 0\), значит, нули функции — числа \(\sqrt{11}\) и 3.
\(3 = \sqrt{9}\), а \(9 < 11\), поэтому \(3 < \sqrt{11}\).
\((x - \sqrt{11})(x - 3) = x^2 - 3x - \sqrt{11}x + 3\sqrt{11} = x^2 - (3 + \sqrt{11})x + 3\sqrt{11}\).
Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен, поэтому графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Парабола лежит ниже оси \(x\) между точками 3 и \(\sqrt{11}\), то есть \((x - \sqrt{11})(x - 3) < 0\) при \(3 < x < \sqrt{11}\). Неравенство \((x - \sqrt{11})(x - 3) \leqslant 0\) нестрогое, поэтому нули функции \(x = 3\) и \(x = \sqrt{11}\) тоже являются его решениями.
Ответ: \([3; \sqrt{11}]\).
Используя схематическое построение графика подходящей функции, решите неравенство \((x - \sqrt{11})(x - 3) \le 0\).
Рассмотрим функцию \(y = (x - \sqrt{11})(x - 3)\). Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x - \sqrt{11} = 0\) или \(x - 3 = 0\). Значит, нули функции — числа \(\sqrt{11}\) и 3. Сравним их: \(3 = \sqrt{9}\), а из двух арифметических квадратных корней больше тот, у которого больше подкоренное число; \(9 < 11\), поэтому \(3 < \sqrt{11}\).
Раскроем скобки: \((x - \sqrt{11})(x - 3) = x^2 - 3x - \sqrt{11}x + 3\sqrt{11} = x^2 - (3 + \sqrt{11})x + 3\sqrt{11}\). Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен, поэтому графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Нарисуем эскиз параболы и выделим штриховкой множество решений неравенства \((x - \sqrt{11})(x - 3) \leqslant 0\):
Парабола лежит ниже оси \(x\) между точками 3 и \(\sqrt{11}\), то есть \((x - \sqrt{11})(x - 3) < 0\) при \(3 < x < \sqrt{11}\). Неравенство \((x - \sqrt{11})(x - 3) \leqslant 0\) нестрогое, поэтому нули функции \(x = 3\) и \(x = \sqrt{11}\) тоже являются его решениями.
Ответ: \([3; \sqrt{11}]\).
