Страница 52 номер 203, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте схематично график функции \(P(x) = (x-3)(x+7)\) и решите неравенство \(P(x) \ge 0\).
Нули функции: \(x - 3 = 0\) или \(x + 7 = 0\), то есть \(x = 3\) или \(x = -7\).
\((x - 3)(x + 7) = x^2 + 7x - 3x - 21 = x^2 + 4x - 21\).
Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен, поэтому графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Парабола лежит выше оси \(x\) левее точки \(-7\) и правее точки 3, то есть \(P(x) > 0\) при \(x < -7\) и при \(x > 3\). Неравенство \(P(x) \geqslant 0\) нестрогое, поэтому нули функции \(x = -7\) и \(x = 3\) тоже являются его решениями.
Ответ: \((-\infty; -7] \cup [3; +\infty)\).
Постройте схематично график функции \(P(x) = (x-3)(x+7)\) и решите неравенство \(P(x) \ge 0\).
Найдём нули функции \(P(x) = (x - 3)(x + 7)\). Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x - 3 = 0\) или \(x + 7 = 0\), то есть \(x = 3\) или \(x = -7\). Значит, нули функции — числа \(-7\) и 3.
Раскроем скобки: \((x - 3)(x + 7) = x^2 + 7x - 3x - 21 = x^2 + 4x - 21\). Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен, поэтому графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Построим схематично график функции \(P(x)\) и выделим штриховкой множество решений неравенства \(P(x) \geqslant 0\):
Парабола лежит выше оси \(x\) левее точки \(-7\) и правее точки 3, то есть \(P(x) > 0\) при \(x < -7\) и при \(x > 3\). Неравенство \(P(x) \geqslant 0\) нестрогое, поэтому нули функции \(x = -7\) и \(x = 3\) тоже являются его решениями.
Ответ: \((-\infty; -7] \cup [3; +\infty)\).
