Страница 52 номер 201, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Используя эскиз графика функции \(y = -x^2 + 6x - 8\), решите неравенство \(-x^2 + 6x - 8 > 0\).
Нули функции \(y = -x^2 + 6x - 8\): \[\begin{aligned} -x^2 + 6x - 8 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 6x + 8 &= 0; \\ D &= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4; \\ x_1 &= \frac{6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = 2; \\ x_2 &= \frac{6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4. \end{aligned}\]
Коэффициент при \(x^2\) в формуле \(y = -x^2 + 6x - 8\) равен \(-1\), он отрицателен — ветви параболы направлены вниз.
Парабола лежит выше оси \(x\) между точками 2 и 4, то есть функция принимает положительные значения при \(2 < x < 4\). Концы включать не нужно, так как неравенство строгое.
Ответ: \((2; 4)\).
Используя эскиз графика функции \(y = -x^2 + 6x - 8\), решите неравенство \(-x^2 + 6x - 8 > 0\).
Найдём нули функции \(y = -x^2 + 6x - 8\) — корни уравнения \(-x^2 + 6x - 8 = 0\). Умножим обе части уравнения на \(-1\) и решим полученное уравнение: \[\begin{aligned} -x^2 + 6x - 8 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 6x + 8 &= 0; \\ D &= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4; \\ x_1 &= \frac{6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = 2; \\ x_2 &= \frac{6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) в формуле \(y = -x^2 + 6x - 8\) равен \(-1\), он отрицателен, поэтому ветви параболы направлены вниз. Нарисуем эскиз параболы и выделим штриховкой множество решений неравенства \(-x^2 + 6x - 8 > 0\):
Парабола лежит выше оси \(x\) между точками 2 и 4, то есть функция принимает положительные значения при \(2 < x < 4\). Концы включать не нужно, так как неравенство строгое.
Ответ: \((2; 4)\).
