Страница 52 номер 200, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство, используя эскиз графика функции \(y = x^2 - 2x - 15\): 1) \(x^2 - 2x - 15 < 0\); 2) \(x^2 - 2x - 15 \ge 0\); 3) \(x^2 - 2x - 15 > 0\).
Нули функции — корни уравнения \(x^2 - 2x - 15 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64; \\ x_1 &= \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = -3; \\ x_2 &= \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = 5. \end{aligned}\]
Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен — ветви параболы направлены вверх.
1) Эскиз параболы и знаки функции на промежутках:
1)—3)
Парабола лежит ниже оси \(x\) между точками \(-3\) и 5, поэтому \(x^2 - 2x - 15 < 0\) при \(-3 < x < 5\). Концы включать не нужно, так как неравенство строгое. Значит, множество решений — интервал \((-3; 5)\).
2) Парабола лежит выше оси \(x\) левее точки \(-3\) и правее точки 5, а в самих точках \(-3\) и 5 значение функции равно нулю. Неравенство \(x^2 - 2x - 15 \geqslant 0\) нестрогое, поэтому нули функции тоже являются его решениями: \(x \leqslant -3\) или \(x \geqslant 5\). Значит, множество решений — \((-\infty; -3] \cup [5; +\infty)\).
3) Парабола лежит выше оси \(x\) левее точки \(-3\) и правее точки 5, поэтому \(x^2 - 2x - 15 > 0\) при \(x < -3\) и при \(x > 5\). Концы включать не нужно, так как неравенство строгое. Значит, множество решений — \((-\infty; -3) \cup (5; +\infty)\).
Ответ: 1) \((-3; 5)\); 2) \((-\infty; -3] \cup [5; +\infty)\); 3) \((-\infty; -3) \cup (5; +\infty)\).
Решите неравенство, используя эскиз графика функции \(y = x^2 - 2x - 15\): 1) \(x^2 - 2x - 15 < 0\); 2) \(x^2 - 2x - 15 \ge 0\); 3) \(x^2 - 2x - 15 > 0\).
Найдём нули функции \(y = x^2 - 2x - 15\) — корни уравнения \(x^2 - 2x - 15 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64; \\ x_1 &= \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = -3; \\ x_2 &= \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = 5. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх.
1) Нарисуем эскиз параболы \(y = x^2 - 2x - 15\) и отметим знаки функции на промежутках, на которые нули \(-3\) и 5 разбивают ось \(x\):
1)—3)
Парабола лежит ниже оси \(x\) между точками \(-3\) и 5, поэтому \(x^2 - 2x - 15 < 0\) при \(-3 < x < 5\). Концы включать не нужно, так как неравенство строгое. Значит, множество решений — интервал \((-3; 5)\).
2) Парабола лежит выше оси \(x\) левее точки \(-3\) и правее точки 5, а в самих точках \(-3\) и 5 значение функции равно нулю. Неравенство \(x^2 - 2x - 15 \geqslant 0\) нестрогое, поэтому нули функции тоже являются его решениями: \(x \leqslant -3\) или \(x \geqslant 5\). Значит, множество решений — \((-\infty; -3] \cup [5; +\infty)\).
3) Парабола лежит выше оси \(x\) левее точки \(-3\) и правее точки 5, поэтому \(x^2 - 2x - 15 > 0\) при \(x < -3\) и при \(x > 5\). Концы включать не нужно, так как неравенство строгое. Значит, множество решений — \((-\infty; -3) \cup (5; +\infty)\).
Ответ: 1) \((-3; 5)\); 2) \((-\infty; -3] \cup [5; +\infty)\); 3) \((-\infty; -3) \cup (5; +\infty)\).
