Страница 52 номер 199, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Используя эскиз графика функции \(y = -x^2 + 3x + 10\), решите неравенство \(-x^2 + 3x + 10 < 0\).
Нули функции \(y = -x^2 + 3x + 10\): \[\begin{aligned} -x^2 + 3x + 10 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 3x - 10 &= 0; \\ D &= (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49; \\ x_1 &= \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = 5. \end{aligned}\]
Коэффициент при \(x^2\) в формуле \(y = -x^2 + 3x + 10\) равен \(-1\), он отрицателен — ветви параболы направлены вниз.
Парабола лежит ниже оси \(x\) левее точки \(-2\) и правее точки 5, то есть функция принимает отрицательные значения при \(x < -2\) и при \(x > 5\). Концы включать не нужно, так как неравенство строгое.
Ответ: \((-\infty; -2) \cup (5; +\infty)\).
Используя эскиз графика функции \(y = -x^2 + 3x + 10\), решите неравенство \(-x^2 + 3x + 10 < 0\).
Найдём нули функции \(y = -x^2 + 3x + 10\) — корни уравнения \(-x^2 + 3x + 10 = 0\). Умножим обе части уравнения на \(-1\) и решим полученное уравнение: \[\begin{aligned} -x^2 + 3x + 10 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 3x - 10 &= 0; \\ D &= (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49; \\ x_1 &= \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = 5. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) в формуле \(y = -x^2 + 3x + 10\) равен \(-1\), он отрицателен, поэтому ветви параболы направлены вниз. Нарисуем эскиз параболы и выделим штриховкой множество решений неравенства \(-x^2 + 3x + 10 < 0\):
Парабола лежит ниже оси \(x\) левее точки \(-2\) и правее точки 5, то есть функция принимает отрицательные значения при \(x < -2\) и при \(x > 5\). Концы включать не нужно, так как неравенство строгое.
Ответ: \((-\infty; -2) \cup (5; +\infty)\).
