Страница 52 номер 198, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство, используя эскиз графика функции \(y = x^2 + 4x - 12\): 1) \(x^2 + 4x - 12 < 0\); 2) \(x^2 + 4x - 12 \le 0\); 3) \(x^2 + 4x - 12 > 0\).
Нули функции — корни уравнения \(x^2 + 4x - 12 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64; \\ x_1 &= \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = -6; \\ x_2 &= \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = 2. \end{aligned}\]
Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен — ветви параболы направлены вверх.
1) Эскиз параболы и знаки функции на промежутках:
1)—3)
Парабола лежит ниже оси \(x\) между точками \(-6\) и 2, поэтому \(x^2 + 4x - 12 < 0\) при \(-6 < x < 2\). Концы включать не нужно, так как неравенство строгое. Значит, множество решений — интервал \((-6; 2)\).
2) Парабола лежит ниже оси \(x\) между точками \(-6\) и 2, а в самих точках \(-6\) и 2 значение функции равно нулю. Неравенство \(x^2 + 4x - 12 \leqslant 0\) нестрогое, поэтому нули функции тоже являются его решениями: \(-6 \leqslant x \leqslant 2\). Значит, множество решений — отрезок \([-6; 2]\).
3) Парабола лежит выше оси \(x\) левее точки \(-6\) и правее точки 2, поэтому \(x^2 + 4x - 12 > 0\) при \(x < -6\) и при \(x > 2\). Концы включать не нужно, так как неравенство строгое. Значит, множество решений — \((-\infty; -6) \cup (2; +\infty)\).
Ответ: 1) \((-6; 2)\); 2) \([-6; 2]\); 3) \((-\infty; -6) \cup (2; +\infty)\).
Решите неравенство, используя эскиз графика функции \(y = x^2 + 4x - 12\): 1) \(x^2 + 4x - 12 < 0\); 2) \(x^2 + 4x - 12 \le 0\); 3) \(x^2 + 4x - 12 > 0\).
Найдём нули функции \(y = x^2 + 4x - 12\) — корни уравнения \(x^2 + 4x - 12 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64; \\ x_1 &= \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = -6; \\ x_2 &= \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = 2. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x^2\) равен 1, он положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх.
1) Нарисуем эскиз параболы \(y = x^2 + 4x - 12\) и отметим знаки функции на промежутках, на которые нули \(-6\) и 2 разбивают ось \(x\):
1)—3)
Парабола лежит ниже оси \(x\) между точками \(-6\) и 2, поэтому \(x^2 + 4x - 12 < 0\) при \(-6 < x < 2\). Концы включать не нужно, так как неравенство строгое. Значит, множество решений — интервал \((-6; 2)\).
2) Парабола лежит ниже оси \(x\) между точками \(-6\) и 2, а в самих точках \(-6\) и 2 значение функции равно нулю. Неравенство \(x^2 + 4x - 12 \leqslant 0\) нестрогое, поэтому нули функции тоже являются его решениями: \(-6 \leqslant x \leqslant 2\). Значит, множество решений — отрезок \([-6; 2]\).
3) Парабола лежит выше оси \(x\) левее точки \(-6\) и правее точки 2, поэтому \(x^2 + 4x - 12 > 0\) при \(x < -6\) и при \(x > 2\). Концы включать не нужно, так как неравенство строгое. Значит, множество решений — \((-\infty; -6) \cup (2; +\infty)\).
Ответ: 1) \((-6; 2)\); 2) \([-6; 2]\); 3) \((-\infty; -6) \cup (2; +\infty)\).
