Страница 52 номер 196, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте параболу \(y = 3x^2 + 4x + 1\). Укажите нули данной функции и значения \(x\), при которых \(y > 0\).
Коэффициент при \(x^2\) равен 3, он положителен — ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{4}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{3}; \\ y_0 &= 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 4 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + 1 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 1 = -\frac{1}{3}. \end{aligned}\]
Нули функции — корни уравнения \(3x^2 + 4x + 1 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4; \\ x_1 &= \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 2}{6} = -1; \\ x_2 &= \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 2}{6} = -\frac{1}{3}. \end{aligned}\] Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-1; 0)\) и \(\left(-\frac{1}{3}; 0\right)\).
\(\frac{-1 + \left(-\frac{1}{3}\right)}{2} = -\frac{2}{3}\) — абсцисса вершины лежит посередине между нулями, вычисления верны.
\((0; 1)\) — точка пересечения с осью \(y\), её ордината равна свободному члену.
\(3 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)^2 + 4 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) + 1 = \frac{16}{3} - \frac{16}{3} + 1 = 1\) — точка \(\left(-\frac{4}{3}; 1\right)\), симметричная точке \((0; 1)\) относительно оси параболы \(x = -\frac{2}{3}\), тоже лежит на параболе.
Парабола лежит выше оси \(x\) левее точки \(-1\) и правее точки \(-\frac{1}{3}\), поэтому \(y > 0\) при \(x < -1\) и при \(x > -\frac{1}{3}\). Сами нули не подходят: в них \(y = 0\), а неравенство \(y > 0\) строгое.
Ответ: нули функции: \(-1\) и \(-\frac{1}{3}\); \(y > 0\) при \(x \in (-\infty; -1) \cup \left(-\frac{1}{3}; +\infty\right)\).
Постройте параболу \(y = 3x^2 + 4x + 1\). Укажите нули данной функции и значения \(x\), при которых \(y > 0\).
Графиком функции \(y = 3x^2 + 4x + 1\) является парабола. Коэффициент при \(x^2\) равен 3, он положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх.
Найдём координаты вершины параболы:
\[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{4}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{3}; \\ y_0 &= 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 4 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + 1 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 1 = -\frac{1}{3}. \end{aligned}\]
Нули функции — корни уравнения \(3x^2 + 4x + 1 = 0\). Найдём дискриминант:
\[D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4.\]
Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня:
\[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 2}{6} = -1; \\ x_2 &= \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 2}{6} = -\frac{1}{3}. \end{aligned}\]
Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-1; 0)\) и \(\left(-\frac{1}{3}; 0\right)\).
Проверим вычисления: абсцисса вершины должна лежать посередине между нулями функции, и действительно, \(\frac{-1 + \left(-\frac{1}{3}\right)}{2} = -\frac{2}{3}\).
Ордината точки пересечения параболы с осью \(y\) равна свободному члену, поэтому эта точка — \((0; 1)\). Точка \(\left(-\frac{4}{3}; 1\right)\) симметрична ей относительно оси параболы — прямой \(x = -\frac{2}{3}\), поэтому тоже лежит на параболе: \(3 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)^2 + 4 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) + 1 = \frac{16}{3} - \frac{16}{3} + 1 = 1\).
Отметим найденные точки и проведём через них параболу:
Парабола лежит выше оси \(x\) левее точки \(-1\) и правее точки \(-\frac{1}{3}\), поэтому \(y > 0\) при \(x < -1\) и при \(x > -\frac{1}{3}\). Сами нули не подходят: в них \(y = 0\), а неравенство \(y > 0\) строгое.
Ответ: нули функции: \(-1\) и \(-\frac{1}{3}\); \(y > 0\) при \(x \in (-\infty; -1) \cup \left(-\frac{1}{3}; +\infty\right)\).
