Страница 48 номер 185, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Глава 2. Неравенства. §8. Повторение. Страница 48. Номер 185

Решение:

1. При \(x = -1\): \(-1 - 2 = -3\), и \(-3 > -4\) — верное числовое неравенство. Значит, число \(-1\) является решением неравенства, утверждение неверно.

2. \[\begin{aligned} -3x + 2 &\leqslant -3x - 5; \qquad | +3x \\ 2 &\leqslant -5. \end{aligned}\] Неравенство \(2 \leqslant -5\) неверно, поэтому у неравенства \(-3x + 2 \leqslant -3x - 5\) нет решений, утверждение верно.

3. При \(x = 2\) левая часть неравенства равна \(\sqrt{5} \cdot 2 + 1 = 2\sqrt{5} + 1\).

\(5 < 9\), поэтому \(\sqrt{5} < \sqrt{9}\), то есть \(\sqrt{5} < 3\). \[\begin{aligned} \sqrt{5} &< 3; \qquad | \cdot 2 \\ 2\sqrt{5} &< 6; \qquad | +1 \\ 2\sqrt{5} + 1 &< 7. \end{aligned}\] Значит, нестрогое неравенство \(2\sqrt{5} + 1 \leqslant 7\) верно: число 2 является решением неравенства \(\sqrt{5}x + 1 \leqslant 7\), утверждение верно.

4. При \(x = -6\): \(-(-6) + 3 = 6 + 3 = 9\), и \(9 < 10\) — верное числовое неравенство. Значит, число \(-6\) является решением неравенства, утверждение неверно.

Ответ: верны утверждения 2 (у неравенства \(-3x + 2 \leqslant -3x - 5\) нет решений) и 3 (число 2 является решением неравенства \(\sqrt{5}x + 1 \leqslant 7\)).

Решение:

Число является решением неравенства, если при подстановке его вместо переменной получается верное числовое неравенство. Проверим каждое утверждение.

1. Подставим \(x = -1\) в неравенство \(x - 2 > -4\): \(-1 - 2 = -3\), и \(-3 > -4\) — верное числовое неравенство. Значит, число \(-1\) является решением неравенства, утверждение неверно.

2. Прибавим к обеим частям неравенства \(3x\) — получим равносильное ему неравенство: \[\begin{aligned} -3x + 2 &\leqslant -3x - 5; \qquad | +3x \\ 2 &\leqslant -5. \end{aligned}\] Неравенство \(2 \leqslant -5\) не содержит переменной и неверно, поэтому оно не выполняется ни при каком значении \(x\). Значит, и у равносильного ему неравенства \(-3x + 2 \leqslant -3x - 5\) нет решений, утверждение верно.

3. Подставим \(x = 2\): левая часть неравенства равна \(\sqrt{5} \cdot 2 + 1 = 2\sqrt{5} + 1\). Числа 5 и 9 положительны и \(5 < 9\), поэтому \(\sqrt{5} < \sqrt{9}\), то есть \(\sqrt{5} < 3\). Умножим обе части этого неравенства на положительное число 2, знак неравенства при этом сохраняется, и прибавим к обеим частям число 1: \[\begin{aligned} \sqrt{5} &< 3; \qquad | \cdot 2 \\ 2\sqrt{5} &< 6; \qquad | +1 \\ 2\sqrt{5} + 1 &< 7. \end{aligned}\] Число \(2\sqrt{5} + 1\) меньше 7, поэтому нестрогое неравенство \(2\sqrt{5} + 1 \leqslant 7\) верно. Значит, число 2 является решением неравенства \(\sqrt{5}x + 1 \leqslant 7\), утверждение верно.

4. Подставим \(x = -6\) в неравенство \(-x + 3 < 10\): \(-(-6) + 3 = 6 + 3 = 9\), и \(9 < 10\) — верное числовое неравенство. Значит, число \(-6\) является решением неравенства, утверждение неверно.