Страница 48 номер 179, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Глава 2. Неравенства. §8. Повторение. Страница 48. Номер 179

Решение:

1. При \(x = 3\): \(3 - 1 = 2\), и \(2 > -2\) — верное числовое неравенство. Значит, число 3 является решением неравенства, утверждение верно.

2. \[\begin{aligned} x + 1 &\leqslant x - 4; \qquad | -x \\ 1 &\leqslant -4. \end{aligned}\] Неравенство \(1 \leqslant -4\) неверно, поэтому у неравенства \(x + 1 \leqslant x - 4\) нет решений, утверждение верно.

3. При \(x = 1\) левая часть неравенства равна \(\sqrt{2} \cdot 1 + 2 = \sqrt{2} + 2\).

\(1 < 2\), поэтому \(\sqrt{1} < \sqrt{2}\), то есть \(1 < \sqrt{2}\). \[\begin{aligned} 1 &< \sqrt{2}; \qquad | +2 \\ 3 &< \sqrt{2} + 2. \end{aligned}\] Значит, число 1 является решением неравенства \(\sqrt{2}x + 2 > 3\), утверждение неверно.

4. При \(x = 1\): \(1 + 2 = 3\), и \(3 \geqslant 3\) — верное числовое неравенство: нестрогое неравенство выполняется и при равенстве частей. Значит, число 1 является решением неравенства \(x + 2 \geqslant 3\), утверждение неверно.

Ответ: верны утверждения 1 (число 3 является решением неравенства \(x - 1 > -2\)) и 2 (у неравенства \(x + 1 \leqslant x - 4\) нет решений).

Решение:

Число является решением неравенства, если при подстановке его вместо переменной получается верное числовое неравенство. Проверим каждое утверждение.

1. Подставим \(x = 3\) в неравенство \(x - 1 > -2\): \(3 - 1 = 2\), и \(2 > -2\) — верное числовое неравенство. Значит, число 3 является решением неравенства, утверждение верно.

2. Вычтем из обеих частей неравенства \(x\) — получим равносильное ему неравенство: \[\begin{aligned} x + 1 &\leqslant x - 4; \qquad | -x \\ 1 &\leqslant -4. \end{aligned}\] Неравенство \(1 \leqslant -4\) не содержит переменной и неверно, поэтому оно не выполняется ни при каком значении \(x\). Значит, и у равносильного ему неравенства \(x + 1 \leqslant x - 4\) нет решений, утверждение верно.

3. Подставим \(x = 1\): левая часть неравенства равна \(\sqrt{2} \cdot 1 + 2 = \sqrt{2} + 2\). Числа 1 и 2 положительны и \(1 < 2\), поэтому \(\sqrt{1} < \sqrt{2}\), то есть \(1 < \sqrt{2}\). Прибавим к обеим частям этого неравенства число 2: \[\begin{aligned} 1 &< \sqrt{2}; \qquad | +2 \\ 3 &< \sqrt{2} + 2. \end{aligned}\] Получилось верное числовое неравенство \(\sqrt{2} + 2 > 3\). Значит, число 1 является решением неравенства \(\sqrt{2}x + 2 > 3\), утверждение неверно.

4. Подставим \(x = 1\) в неравенство \(x + 2 \geqslant 3\): \(1 + 2 = 3\), и \(3 \geqslant 3\) — верное числовое неравенство, так как нестрогое неравенство выполняется и при равенстве частей. Значит, число 1 является решением неравенства, утверждение неверно.